高一上学期期末数学新定义压轴汇编01不动点问题及应用.docx

高一上期期末新定义压轴汇编

1.不动点问题及应用

一．基本原理

1.不动点:已知函数,若存在,使得，则称为函数的不动点.不动点实际上是方程组的解的横坐标，或两者图象的交点的横坐标.

2.稳定点:已知函数,若存在，使得，则称为函数的稳定点.

显然,若为函数的不动点，则必为函数的稳定点.

3.关于不动点和稳定点，有下面两个结论：

性质1：；

性质2：若函数单调递增，则.

证明:不妨设,则由题知,则,故,所以,所以性质1得证;

设,则,因为函数单调递增,所以存在唯一,使,若,则,得到,与矛盾;

若,则,得到,与矛盾,

故必有,所以,即,又由性质（1）知,

所以,当函数单调递增,,故性质2得证.

二．典例分析

例1．对于定义在R上的函数，如果存在实数使，那么叫做函数的一个不动点.若函数存在两个不动点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

解析：要使函数存在两个不动点，只需直线与函数的图象有两个不同的交点即可.当时，显然与的图象有一个交点；

当时，需使与的图象有且只有一个交点，如示意图，则需的图象最多向下平移1个单位长度，向上则可以任意平移，所以，即.故选：C.

例2．设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，．

（1）若，求函数的不动点；

（2）若函数在上存在不动点，求实数的取值范围．

解析：（1）由“不动点”定义知：当时，，所以，即，解得或（舍去），所以，且所以函数在上的不动点为.

（2）根据已知，得在上有解，所以在上有解，令，，所以，即在上有解，所以在上有解，设，，则在上单调递增，故，所以，可得，又在上恒成立，所以在上恒成立，则，则，综上，实数的取值范围是.

例3．对于函数，，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点．

（1）判断函数是否为不动点函数，并说明理由；

（2）若函数在区间上有且仅有两个不同的不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围．

解析：（1）假设为不动点函数，则，使得，令，易知函数在定义域内为增函数，且，，根据零点存在性定理可知，函数在区间0,+∞上存在唯一的零点，

所以为不动点函数．

（2）函数在区间上有且仅有两个不同的不动点，所以方程在区间上有两个不同的解，则，令，因为在区间上单调递增，所以，所以.要使与在上有两个交点，则．又函数在区间上有且仅有1个次不动点，所以方程在区间上有唯一解，则，，令，在单调递增

要使，与在上有1个交点，则．所以

经检验满足在区间上恒成立，所以实数b的取值范围为．

例3．对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.

（1）证明：函数不动点一定是函数的稳定点.

（2）已知函数，

（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；

（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.

解析：（1）证明：若实数是的一个不动点，则，所以，故函数不动点一定是函数的稳定点.

（2）（Ⅰ）当时，，∴，解得：或，所以函数的不动点为1和；又

∴，解得：或，或或

所以函数的稳定点为1和；.

解法2：所以函数的不动点为1和；由得，即，由（Ⅰ）可知函数的不动点1和一定是稳定点，故可令

，从而由待定系数法可求得，，所以，解得或，或或，所以函数的稳定点为1和；

（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，当时，令，当且仅当时取等号，又，由，可化为，关于的方程有三个不等实根，令，，由于非负数，如果有两个不同正根，方程必有四个解即四个不同的不动点，与题设矛盾；如果有且只有一个正根，只有两个不动点，与题设矛盾；所以必有一根为正根和一个零根，即或，则，因为，得：，则.故实数的取值范围是，.

例4．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.

（1）求函数的次不动点；

（2）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围.

解析：（1）设函数的次不动点为，则，即，将等式两边平方整理得：或，均符合题意，故函数的次不动点为和.

（2）设函数在上的不动点和次不动点分别为和.则由可得：，即：，化简得：，，因在时为增函数，故，即；再由可得：，即：，化简得：，，

因在时为增函数，故，即.综上所述，实数的取值范围为.

例5．对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函