2024-2025学年广东省广州市真光中学高三上学期期末测试数学试卷含详解.docx

广州市真光中学2025届高三期末测试

高三数学

命题人：钟三明审题人：朱静滢??????????????2025.1

本试卷共4页,满分150分,考试用时120分钟．

一,选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合,则的元素个数是（????）

A．0 B．1 C．2 D．无数

2．设,则（????）

A．10 B．9 C． D．

3．已知向量,,则（????）

A．1 B． C．3 D．

4．已知随机事件,,,,,则等于（???）

A． B． C． D．

5．已知双曲线：的右焦点为F,过点F作垂直于x轴的直线,M,N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点,则C的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

6．已知圆锥的底面半径为3,圆锥内的最大球的表面积为,则圆锥的体积为（????）

A． B． C． D．

7．在平面四边形中,已知,,,,,则四边形的面积是（????）

A． B． C． D．

8．已知0b1+a,若关于x的不等式（x－b）2（ax）2的解集中的整数恰有3个,则

A．－1a0 B．0a1 C．1a3 D．3a6

二,选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分．

9．设为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与交于两点,为的准线,则（????）

A． B．

C．以为直径的圆与相切 D．

10．在数学中,双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数,从它们可以导出双曲正切函数等,则下列说法正确的是（????）

A．

B．恒成立

C．,

D．,且,则

11．数学中有许多形状优美,寓意美好的曲线,例如：四叶草曲线就是其中一种,其方程为,则下列说法正确的是（???）

A．四叶草曲线有四条对称轴

B．设为四叶草曲线上一点,且在第一象限内,过作两坐标轴的垂线,则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为

C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为

D．四叶草曲线的面积小于

三,填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．

12．已知数列满足,,．则数列的通项公式为．

13．已知为坐标原点,对于函数,称向量为函数的互生向量,同时称函数为向量的互生函数．设函数,则的互生向量=,记的互生函数为,若函数在上有四个零点,则实数的取值范围为．

14．已知函数fx=lnkxk0,动直线与的图象分别交于A,B两点,曲线在点A和点B的两条切线相交于点C,当为直角三角形时,它的面积为

四,解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

15．治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药,治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈,服用传统药的400名患者中有120名未治愈．

(1)补全列联表（单位：人）,并根据小概率值的独立性检验,分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好.

药物

疗效

合计

治愈

未治愈

创新药

传统药

合计

(2)从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名,在这10人中随机抽取8人进行回访,用表示回访中治愈者的人数,求的分布列及均值．

附：.

0.1

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

16．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程.

(2)若0是函数的极小值点,求实数的取值范围．

17．已知椭圆的标准方程为,,分别为椭圆的左,右焦点,点为椭圆上一动点,且在轴上方,延长,分别交椭圆于点,．

(1)若,求直线的方程.

(2)求面积的最大值．

18．如图1,在平行四边形中,,E为的中点．将沿折起,连接与,如图2．

??

(1)当为何值时,平面平面?

(2)设,当时,是否存在实数,使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在,求出的值,若不存在,请说明理由．

(3)当三棱锥的体积最大时,求三棱锥的内切球的半径．

19．已知数列,从中选取第项,第项,…,第项,若,则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列.

（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为,长度为的递增子列的末项的最小值为.若,求证：.

（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为,且长度为末项为的递增子列恰有个,求数列的通项公式．

1．C

【分析】依题意,转换为两个图象交点问题,两函数联立,