数理统计课件：经验分布函数.pptx

经验分布函数

?对任意实数x，则称为样本X1,X2,...,Xn的为经验分布函数.

例1.5.1有一组数据19，22，13，11，16，17，求相应的经验分布函数.解：把这些数据按照从小到大顺序排列为11，13，16，17，19，22

经验分布函数为

记示性函数则经验分布函数Fn(x)可以表示为

经验分布函数是单调、不减、右连续的阶梯函数，其跳跃点是样本的观察值，当n个观察值各不相同时，每个跳跃点的跳跃度均为1/n，且Fn(x)满足对每一个样本观察值x1,x2,…,xn，Fn(x)作为x的函数，具备分布函数的基本性质，Fn(x)可视为一个分布函数.对每一个固定的x，Fn(x)是样本X1,X2,…,Xn的函数，故Fn(x)是一个随机变量.

关于经验分布函数Fn(x)，有如下重要的结论定理1.5.1设F(x)为总体X的分布函数，X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,Fn(x)为其经验分布函数，则对任意给定实数x，有

证明：经验分布函数Fn(x)是依赖于样本X1,X2,…,Xn的函数，因此它是统计量,它的可能取值为0,1/n,2/n,…,(n-1)/n,1.记，则且Y1,Y2,…,Yn独立同分布，服从两点分布B(1,F(x)),因此是独立同分布随机变量的和.

根据辛钦大数定律，当n充分大时，有因此，结论(1)成立.根据强大数定律，当n充分大时，有因此，结论(2)成立.

根据中心极限定理，当n充分大时，有因此，结论(3)成立.定理1.5.1的结论(2)说明:对给定的实数x，经验分布函数Fn(x)以概率1收敛于总体分布函数F(x).因此只要n充分大，经验分布函数Fn(x)与理论分布函数F(x)的差异就非常小.

进一步，格里汶科于1933年证明了比定理1.5.1更深刻的结果.定理1.5.2设F(x)为总体X的分布函数，X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,Fn(x)为其经验分布函数，记则有

定理1.5.2说明:对所有的实数x，经验分布函数Fn(x)与总体分布函数F(x)之差的绝对值一致地越来越小，这个事件发生的概率为1，即经验分布函数概率为1的关于x一致收敛于总体分布函数.根据定理1.5.1和定理1.5.2，经验分布函数是总体分布函数一个很好的近似，而名字中的“经验”二字是指由样本所得到，因此称为经验分布函数.

作业：习题1：9，10