人教A版高中数学(必修第二册)考点通关练09 与三角形有关的范围（最值）问题8种常见考法归类（解析版）.doc

考点09与三角形有关的范围（最值）问题8种常见考法归类

解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．

模型1已知三角形的一角及其对边

如图，已知的三个内角为A，B，C，及其对应边分别为，且（即已知三角形的一角及其对边），则根据三角形的边角关系就可得到以下三个隐含的解题条件：

①

②正弦定理：（其中R为外接圆的半径）（实现了边角的相互转化）

即

③余弦定理：，即（可看作的方程）

变形：,

以上三个隐含的解题条件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其对边”的本质：角的关系（内角和定理）、边角的关系（正余弦定理）.掌握这个本质就可解决多种不同类型的问题，进而得到解决此类问题的系统方法．

例如，在上述条件下可求：

；

外接圆的半径；

的取值范围（拓展到求的最值）；

类似还有：（若为锐角三角形？）

的取值范围（拓展到求的最值）；

的取值范围

周长的最大值（即求的最大值）；

面积的最大值

的取值范围

已知三角形的一角及对边，求三角形面积、周长等的最值

①已知条件为三角形的一边和对角，可以借助正弦定理，转化为角，求三角函数最值

（口诀：正弦定理化角，三角函数求最值）

基本步骤：

利用正弦定理化边为角，并将式子中的角都化为唯一角

将所求式子化简为的形式或二次函数型

确定此唯一角的取值范围（利用三个内角都在0到π之间）注：如果是锐角三角形，则需要满足，，

根据角的范围求最值（范围）

②问题涉及三角形的一边和对角，可以借助余弦定理，转化为边，利用基本不等式求值。

（口诀：余弦定理化边，不等式求最值）

核心示例：已知△ABC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范围（最值）

求周长的最大值

求周长的最大值

求面积的最大值

求面积的最大值

模型2已知三角形的一角及其邻边

例：如图，已知的三个内角为A，B，C，及其对应边分别为，且（即已知三角形的一角及其邻边），若为锐角三角形，求面积的取值范围

方法一：是锐角三角形，由得到，故，解得

.由三角形的面积公式有，由正弦定理可得，，

故故即面积的取值范围是

方法二：若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，

由三角形为锐角三角形，且，即，即

解得，可得面积，．

总结：在三角形中已知一边和一角的系统求解策略是：将边的表达式转化为角的三角函数进行处理，这是通法．而已知三角形的“一角两边”“两角一边”“三边”等模型均可直接使用正余弦定理解三角形，且三角形是确定的，也就不存在求解范围的问题了！这样一来，解三角形中已知“一角一边”的问题就得到了系统的认识，学生在教师的带领下也就形成了解决三角形问题中已知边角问题的整体解决方案，当然也就形成了解决一类问题的系统方法.

模型3已知两条边

例：已知锐角?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=2,b=1,求?ABC面积的取值范围.

方法一：（正弦定理）由正弦定理得，所以.因为是锐角三角形，所以，所以即，所以，所以所以，从而.

方法二：（余弦定理）由余弦定理得，又因为为锐角三角形，所以，即，解得，即，从而.

模型4已知一条边和另外两条边的和的关系

例：已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边,且c=2,a+b=4,求?ABC面积的最大值.

（余弦定理+二次函数）由余弦定理可得，因为，所以求得又因为，所以，由三角形三边关系有，即，得，所以在对称轴处，即，面积最大值为

考点一已知三角形的一角求取值范围

（一）求三角函数式的取值范围

（二）求边或角的取值范围

考点二已知三角形的一角及对边求取值范围

（一）求边和差积商的取值范围

（二）求周长的取值范围

（三）求面积的取值范围

（四）综合应用

考点三已知三角形的一角及其邻边求取值范围

考点四已知三角形的一角及另外两边关系求取值范围

考点五已知三角形的一边及其他边的关系求取值范围

考点六已知三角形的三边关系求取值范围

考点七与角平分线长、中线长有关的最值问题

考点八与三角形有关的实际问题的最值问题

考点一已知三角形的一角求取值范围

（一）求三角函数式的取值范围

1．（2022·高一单元测试）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

(1)若，且，求△ABC的面积；

(2)求的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可.

（2）由题设有，根据