数理统计课件：正态总体参数的置信区间.pptx

;枢轴量法的基本要点:在参数点估计的基础上去构造参数的置信区间.;求参数μ的置信水平为1-α的置信区间.;解:;对于给定的置信水平,根据U的分布，确定一个区间,

使得U取值于该区间的概率为置信水平.;不等式等价变形得到;枢轴量法构造置信区间的步骤如下;第三步：对给定的0?1，确定两个常数a,b，使;定义4.2.1：令G(X1,X2,…,Xn,?)是样本X1,X2,…,Xn和参数?的一个可测函数，当且仅当G(X1,X2,…,Xn,?)的分布不依赖于参数?时，G(X1,X2,…,Xn,?)被称为枢轴量.;使用枢轴量法构造置信区间注意以下几点.;3.上述枢轴量方法中，最关键在于构造枢轴量.由于一个“好”

的点估计量落在被估计量附近处的概率比较大，尽量用好的

估计量构造置信区间，使得置信区间有更好的精度.

;5.上面的方法对于置信上限和置信下限也适用.

选取常数a(或b)，使得;;一σ2已知，求参数μ的置信区间;说明：;说明：;置信水平1?α固定，要使区间长度;例4.2.2假设某流水线生产的某型号电容元器件的容量服从正态分布，

N(μ,0.052),通过简单随机采样获得下面一组样本的观察值(单位：μF);上述区间估计的长度为0.080.05.要达到区间长度不大于0.05的要求，就需要增加样本容量，即;;想法：用样本标准差S代替总体标准差?.;对给定的置信水平1-α,确定分位数tα/2(n-1);;解:;例4.2.4根据长期经验知道某式枪弹底火壳二台高X服从正态分布N(?,?2)，现在随机抽取底火壳20个，测得二台高X的结果(单位：mm)为

4.964.954.924.944.964.944.974.964.974.97

5.014.974.985.014.974.984.994.985.005.00;解：(1)因为?2已知，因此底火壳二台高X的均值?的置信区间为;(2)当?2未知时，均值?的置信水平为95%的置信区间为;解：;对给定的置信水平1-α,取c1和c2满足;;解：;因此代入数据得到参数σ2的置信水平为95%的置信区间为：;取枢轴量;均值μ未知，标准差σ的置信水平1-α的置信区间为;解：;因此代入数据得到参数σ2的置信水平为95%的置信区间为：;待估参数;在实际应用中，我们经常会碰到对两个正态总体的均值或者方差进行比较的问题.比如;我们分???种情况讨论均值差μ2-μ1的置信水平为1?α的置信区间.;由正态分布的性质可得;取T作为枢轴量;可将上式等价转化为;易知;可得;对于置信水平1?α，选择分位数tα/2(m+n?2)，有;令Zi=Yi?Xi，i=1,2,…,n，则;类似于单正态总体时，均值的区间估计方法，得?2??1的置信水平为1?α的置信区间为;四?12，?22未知，且不相等，m，n也不相等，求μ2-μ1的置信区间;例4.2.7在某电子产品的试验过程中，工程师们需要了解两个路线上的电压差.因此，用相同精度的仪器对两个路线上的电压进行5次重复测量，获得的数据为;解:首先，这个问题是一个方差已知的均值差置信区间的构造问题.两个样本的样本容量n=m=5.;例4.2.8在某电子产品的试验过程中，工程师们需要了解两个路线上的电压差.因此，用相同精度的仪器对两个路线上的电压进行5次重复测量，获得的数据为;解:首先，这个问题是一个方差未知但相等的均值差置信区间的构造问题.;待估参数;在实际中，我们也经常会碰到比较两个总体方差的问题.;我们分两种情况讨论方差比σ12/σ22的置信水平为1?α的置信区间.;记和;由于F的表达式与?12/?22有关，但是其分布与?12/?22无关.;根据F分布上分位数得到c1=F1?α/2(m,n)和c2=Fα/2(m,n);二均值?1和?2均未知，求σ12/σ22的置信区间.;F作为枢轴量.对于给定置信水平1-α,找c1和c2使得;均值均未知情形下，方差比?12/?22的置信水平为1?α的置信区间为;待估

参数;方差比置信区间的含意;作业：