人教A版高中数学(必修第二册)考点通关练10 三角形的中线 角平分线 高线问题3种常见考法归类（原卷版）.doc

考点10三角形的中线、角平分线、高线问题3种常见考法归类

涉及中线长的工具：

如图1，在中，设为边上的中点，与中线长有关的计算问题，常见的处理方法有三种.

1.在和中解三角形，求解.

2.补成平行四边形：如图2，，可在中求解，从而得出.

3.利用向量：由，两边平方后，就可以得到中线、及其两邻边的关系.

注：1、中线长定理：在?ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2

推导过程：在?ABD中，cosB=

在?ABC中，cos

联立两个方程可得：AB

【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中

2、向量法：AD

推导过程：由AD=

则AD

所以AD

【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD

涉及角平分线的工具：

如图，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别为a，b，

1、利用角度的倍数关系：∠

2、内角平分线定理：AD为?ABC的内角∠BAC的平分线，则AB

推导过程：在中，，

在中，，，

该结论也可以由两三角形面积之比得证，即

说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，

再结合爪型结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，

运用向量知识解决起来都较为简捷。

3、等面积法：

因为S?ABD+

所以12

所以b+c

整理的：AD=2bccos

4、角互补

在中有：;

在中有：

注：题中出现角平分线，我们可以从“角度”和“长度”两个方面入手考虑.

1.角度：角被平分.

2.长度：在中，为的平分线，则，这就是角平分线性质定理之一.提醒：角平分线性质定理大题中不建议直接使用.

三、涉及高线的工具：

1、分别为边上的高，则

2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度

高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。

考点一中线问题

（一）求中线长

（二）已知中线长求其他量

（三）与中线长有关的最值(范围）问题

（四）与中线有关的综合问题

考点二角平分线问题

（一）求角平分线长

（二）已知角平分线长求其他量

（三）与角平分线有关的范围问题

（四）中线与角平分线的综合问题

考点三高线问题

考点一中线问题

（一）求中线长

1．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．

(1)求角B的大小；

(2)若的面积为，求AC边上的中线长．

2．（2022春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）在△ABC中，若，，再从下列①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线长.条件①：BC＝2；条件②：；条件③：△ABC的周长为6.

3．（2023·全国·高一专题练习）在中，.

(1)求；

(2)求边上的中线.

4．（2022秋·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．

(1)求B；

(2)若的周长为，求BC边上中线的长．

5．（2023春·四川广安·高一校考开学考试）在中，角所对的边分别为，，．

(1)求的值；

(2)若，求边上中线的长．

6．（2022·全国·高一专题练习）在①且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．

问题：在中，角的对边分别为，且__________．

(1)求；

(2)若为边的中点，且，求中线长．

7．（2022·北京东城·统考三模）在中，.

(1)求；

(2)再从条件①?条件②?条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长.

条件①：；条件②：；条件③：的面积为.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

（二）已知中线长求其他量

8．（2023·全国·高一专题练习）在中，

(1)求角A的大小

(2)若BC边上的中线，且，求的周长

9．（2022春·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且满足

(1)求角的大小；

(2)若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长.

10．（2023秋·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求；

(2)若，AB边上的中线，求ABC的面积.

11．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）在中，角，，对边分别为，，，且，.

(1)求；

(2)若，边上中线，求的面积.

12．（2022春·河南周口·高一扶沟县第二高中校考阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)若的面积为，求a；

(2)若边上的中线，求的值.

13．（2022·全国·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，且.

(1)求的大小

(2)在下列