数学实验（第4版）课件：传染病模型.ppt

目录上页下页返回结束*综合实验实验9.1数学建模简介实验9.2手机模型数学实验实验9.3传染病模型*实验9.3传染病模型一、问题描述二、模型准备实验9.3传染病模型三、模型假设四、模型构成与求解五、模型检验与改进*实验目的一、问题描述利用已经掌握的数据资料,建立适当的数学模型，研究传染病,通过本实验了解如何对较复杂的问题进行数学建模，如何对模型进行改进，以及如何利用MATLAB软件求解常微分方程模型.实验9.3传染病模型对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失.并需要对数学模型进行一定的比较分析和评价展望.*二、模型准备这是涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料.不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.描述传染病的传播过程.分析受感染人数的变化规律.预报传染病高潮到来的时刻.预防传染病蔓延的手段.实验9.3传染病模型*三、模型假设1）在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移.2）时间以天为计量单位.3）假设时刻t已感染者（infective，以下简称病人）人数比例为i(t)，并假设i(t)是连续、可微函数.实验9.3传染病模型4）每个病人每天有效接触(足以使人致病)平均人数为常数λ，称为日接触率.*实验9.3传染病模型四、模型构成与求解模型一考察t到t+△t病人人数的增加，就有：方程两边同时除以△t，并设t=0时，病人比例是即得微分方程分离变量直接可得微分方程的解析解*从模型中不难看出时，有.不符合实际情况，需要修改模型增加假设：实验9.3传染病模型五、模型检验与改进模型二（SI模型）区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)时刻t易感染者（susceptible，以下简称健康者）人数比例为s(t)，于是有*实验9.3传染病模型方程两边同时除以△t得又因为即得微分方程解得称为Logistic模型，也叫阻滞增长模型*的图形：设λ=1，i0=0.02，用MATLAB作出t=0:0.1:10;i=1./(1+(1/0.02-1).*exp(-t));plot(t,i)axisongridonxlabel(t)ylabel(i)↙实验9.3传染病模型*实验9.3传染病模型的图形：设λ=1，i0=0.02，用MATLAB作出i=0:0.01:1;di=i.*(1-i);plot(i,di)axisongridonxlabel(i)ylabel(di/dt)↙*实验9.3传染病模型由图可知，当时，曲线达到拐点，于是达到最大值这个时刻为此时病人增加得最快，即传染病的高潮期，是医疗卫生部门关注的时刻.与λ成反比，表明降低日接触率可以推迟传染病高潮的到来.*实验9.3传染病模型模型二中时，有.仍然不符合实际情况，需要修改模型.模型三（SIS模型）病人可以治愈！传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设：设病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为?，（?~日治愈率，1/?是这种传染病的平均传染期）方程两边同时除以△t得*实验9.3传染病模型mls/=?~日接触率1/?~传染期?~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.解得*实验9.3传染病模型可见时，有利用MATLAB可以作出和和的图形分别如下：*实验9.3传染病模型接触数?=1~阈值传染期内日接触率不超过日治愈率的缘故模型二(SI模型)如何看作模型三(SIS模型)的特例,?=0.?1di/dt先增后减,说明传染速度先增后减i(t)单调下降,最终趋于0?1,i01-1/?di/dt0,说明i(t)单调增加?1,i01-1/?di/dt0,说明i(t)单调减少*实验9.3传染病模型模型四（SIR模型）传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称为移出者（removed）.1.模型构成增加假设：时刻t移出者（removed）人数比例为r(t)，则又*则得方程两边同时都除以△t，并设t=0时，病人、健康者、移出者的比例分别是 无法求出