题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解题技巧（解析版）.docx

题型03“奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解题技巧

技法

技法01“奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧

技法02“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧

技法01“奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧

在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数

在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数的奇偶性，则最大值+最小值可秒解.

知识迁移

在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有

即倍常数

（1）与指数函数相关的奇函数和偶函数

，（，且）为偶函数，

，（，且）为奇函数

和，（，且）为其定义域上的奇函数

和，（，且）为其定义域上的奇函数

为偶函数

（2）与对数函数相关的奇函数和偶函数

，（且）为奇函数，

，（且）为奇函数

例1-1．（2023上·江苏·高三模拟）已知分别是函数++1的最大值、最小值，则

倍常数=2

例1-2．．（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数，的最大值为M，最小值为m，则.

【法一】倍常数=14

【法二】

例1-3．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数，，记的最大值为，最小值为，则.

【法一】倍常数=4

【法二】

1．（2023下·湖南校考）已知函数在区间上的最大值为最小值为，则.

【答案】

【分析】设函数，则的最大值为，最小值为，利用是奇函数可得答案.

【详解】设函数，则的最大值为，最小值为，

，则，

所以是奇函数，所以，所以．

故答案为：.

2．（2023上·重庆校考）函数，当时的最大值为M，最小值为N，则．

【答案】

【分析】求出的奇偶性即可得出的值.

【详解】由题意，

在中，

，

函数是奇函数，，

在中，

当时的最大值为M，最小值为N，

故答案为：.

3．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为．

【答案】8

【分析】化简函数，设，，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.

【详解】由，

设，，

则，

所以函数在上为奇函数，

所以，

由题意，得，

所以.

故答案为：8.

4．（2023上·山东统考期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则.

【答案】4046

【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.

【详解】，

设，定义域关于原点对称，

由，知函数为奇函数，

因为，，

所以.

故答案为：4046.

5．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则．

【答案】2

【分析】根据三角恒等变换和分类常量法可得，由函数的奇偶性可知为奇函数，则，进而，即可求解.

【详解】当时，，当或时，，

所以的定义域为.

又，

设，则，∴?g(x)?为奇函数；设?g(x)?的最大数值为M，最小值为N，

则，则的最大数值为，最小值为，

∴的最大值与最小值之和为，得．

故答案为：2．

6．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考）函数的最大值为，最小值为，若，则．

【答案】

【分析】将函数解析式化为，设，则，记，则为奇函数，根据奇函数的性质及，即可求得的值.

【详解】因为，

设，

则，

设，

则，

所以是上的奇函数，最大值为，最小值为，

所以，

由，得，

故答案为：

7．（2015上·宁夏银川·高三阶段练习）已知分别是函数的最大值、最小值，则．

【答案】2

【分析】先由和角正弦公式化简，令，得是奇函数，再由奇函数的性质即可求出最值之和.

【详解】由可得定义域为R，，令，则，

则函数是奇函数，设其最大值为，则其最小值为，所以，，从而．

故答案为：2.

8．（2022上·辽宁·联考）已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则.

【答案】15

【分析】令，判断其奇偶性，由奇函数的性质得出所求.

【详解】

令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即

故答案为：

9．（2023下·黑龙江校考）已知函数，若在区间上的最大值和最小值分别为M，N，则函数的图像的对称中心为．

【答案】/

【分析】利用函数的奇偶性的定义及性质，结合函数的对称性即可求解.

【详解】由题意可知，

所以.

故函数在定义域内为非奇非偶函数，

令，则，

所以在定义域内为奇函数.

设在上的最大值为，则最小值为，

所以在上的最大值为，最小值为，

所以.

.

因为，

所以图象的对称中心为.

故答案为：.

10．（2023上·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数的最大值为，最小值为，则.

【答