2024-2025学年上海交通大学附属中学高二上学期期末考试数学试卷含详解.docx

2024-2025学年第一学期高二数学期末试卷

（本试卷共4页,满分160分,120分钟完成.答案一律写在答题纸上）

考试说明：试卷最后的挑战题为非必答题,分值10分

一,填空题.（本题共12小题,前6题每小题4分,后6题每小题5分,共54分.请在横线上方填写最终的,最简的,完整的结果）

1．已知数列的前n项和,那么的值为.

2．椭圆的焦距是.

3．若圆锥的底面半径与高均为2,则其侧面积为.

4．将一张坐标纸折叠一次,使点2,0与点重合,此时点与原点重合,则的值是.

5．已知直线的倾斜角为,则的余弦的值为.

6．一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米,深度为0.5米,则该抛物线的焦点到顶点的距离为米.

7．向量,的夹角.

8．已知,函数,有最小值,则的最大值为.

9．如图,在平行六面体中,,,若为中点,则.

??

10．平行直线与间的距离为.

11．已知F是双曲线的右焦点,动点P在双曲线的左支上,点Q为圆上一动点,则的最小值为.

12．已知实系数一元二次方程的两个根,满足,,其中i是虚数单位,则的取值范围是.

二,选择题（本题共4小题,前2题每小题4分,后2题每小题5分,共18分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请填写符合要求的选项前的代号）

13．已知,则“”是“”的（???）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

14．直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（????）

A．直线过圆心 B．直线与圆相交,但不过圆心

C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点

15．设,则双曲线的离心率的取值范围是（）

A． B． C． D．

16．已知,把函数的图像向左平移个单位长度,得到的函数图像恰好关于y轴对称.定义：为符合的所有x的和,则的值为（???）

A． B． C．62 D．66

三,解答题.（本大题共5小题,满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤）

17．设．

(1)当函数的最小正周期为时,求在上的最大值.

(2)若,且在中,角,,所对的边长为,,,锐角满足,,求的最小值．

18．如图,在直棱柱中,,,点,,分别是,,的中点．

??

(1)求与平面所成角的大小.

(2)求到平面的距离．

19．如图,半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上,其余顶点在半球面上）.

(1)若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体）.求半球的表面积和体积.

(2)若半球的底面圆的半径为10,求正四棱柱表面积的最大值.

20．已知椭圆的离心率,左顶点为A,下顶点为B,C是线段的中点,其中.

(1)求椭圆方程.

(2)记椭圆的左右焦点分别为,,M为椭圆上的点,若的面积为,的面积为,若,求的取值范围.

(3)过点的动直线与椭圆有两个交点P,Q,在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在,求出这个T点纵坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.

21．已知函数的定义域为R.定义：若存在实数a,b（）使得对任意恒成立,则称函数具有性质.

(1)幂函数是否具有性质,说明理由.

(2)设,若函数具有性质,求实数a的取值范围.

(3)设,集合函数具有性质,求集合M在坐标平面上的对应的区域的面积.

(4)设,集合函数具有性质.为集合M在坐标平面上对应的区域边界上的点,且Q不在x轴上,求的最小值.

1．

【分析】根据,结合对数运算即可求解.

【详解】.

故答案为：1.

2．2

【详解】分析：由椭圆方程可求,然后由可求,进而可求焦距

详解：∵椭圆

∴.

即答案为2．

点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用,属基础题

3．

【分析】依题意可求得其母线长,代入侧面积公式计算可得结果.

【详解】由题可知圆锥母线为.

所以其侧面积为.

故答案为：

4．

【分析】折痕为点2,0与点的中垂线,得方程,再根据点与原点对称可得答案.

【详解】如图：可知折痕为点2,0与点的中垂线.

中点坐标为.

设折痕直线的斜率为,则,得.

故折痕直线方程为,即.

由题意点与原点关于折痕对称.

故得,故.

故答案为：

5．

【分析】由倾斜角与斜率的关系,利用同角三角函数的商数关系与平方关系即可求得结果.

【详解】,所以又,所以.

故答案为：.

6．2

【分析】由题意建系,设抛物线的方程为,由抛物线经过的点求出的值,则易得焦点到顶点的距离.

【详解】

如图建系,设抛物线的方程为,由题意抛物线过点.

代入解得,故拋物线的焦点到顶点的距离为米