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時變電磁場

主要內容：

本章在介紹法拉第電磁感應定律及位移電流假

說之後，導出麥克斯韋方程組和它在電磁邊界上的

形式，再由麥克斯韋方程組的限定形式，導出坡印

廷定理及波動方程；在引入動態位的概念之後，導

出動態位所滿足的達朗貝爾方程，並通過其解的物

理意義，引入滯後位；在介紹時諧場的複數表示之

後,介紹麥克斯韋方程組、坡印廷定理、波動方程

及達朗貝爾方程的複數形式。最後，介紹電與磁的

對偶性。

5.1法拉第電磁感應定律

一、法拉第電磁感應定律

感應電動勢：法拉第發現當穿過導體回路的磁

通量發生變化時，回路中就會出現感應電流，表明

此時回路中存在電動勢，這就是感應電動勢。

著名的法拉第電磁感應定律：法拉第發現進一步

的研究發現，感應電動勢的大小和方向與磁通量的

變化有密切關係。

當通過導體回路所圍面積的磁通量發生變化時

回路中就會產生感應電動勢in，其大小等於磁通量

的時間變化率的負值，方向是要阻止回路中磁通量

的改變，即

d

in(5-2)

dt

式中負號即表示回路中感應電動勢的作用總是要阻

止回路中磁通量的變化。這裏已規定：感應電動勢

的正方向和磁力線的正方向之間存在右手螺旋系。

設任意導體回路圍成的曲面為，其單位法向向量為，

如圖5.1所示。

圖5-1感應電動勢的正方向和磁通的方向

回路附近的磁感應強度為，穿過回路的磁通BdS

S

d

於是（5-2）可以寫成inBdS（5-3）

dtS

二、法拉第電磁感應定律的積分與微分形式

從一般意義上講，電流是電荷的定向運動形成的，

而電荷的定向運動往往是電場力對其作用的結果。

所以，當磁通量發生變化時導體回路中產生感應電

流，這一定預示著空間中存在電場。這個電場不是

電荷激發的，而是由於回路的磁通量發生變化而引

起的，它不同於靜電場。當一個單位正電荷在電場

力的作用下繞回路c一周時，電場力所做的功為

Edl它等效於電源對電荷所做的功，即電源電動

Cin

勢。此時電源電動勢就是感應電動勢in,有

inEindl（）

C5-4

d

式（5-3）BdS右邊的表示穿過面積s的磁通量隨

dtS

時間的變化率，而磁通量變化的原因可以歸結為兩

個：回路靜止（既無移動又無形變），磁場本身變

化；磁場不變，回路運動（包括位移和形變）。

v1.法拉第電磁感應定律的積分形式

當回路靜止時，磁通量的變化是因磁場隨時間

d

變化而引起的，時間導數dt可以換成時間偏導數t，

並且可以移到積分內，故有

B

EindldS(5-5)

CSt

v2.法拉第電磁感應定律的微分形式

利用斯托克斯公式，AdlAdS並考慮到回路

CS

c(或面積s)的任意性，得

B

E