专题05 期末解答压轴题（原卷版）.docx

专题05期末解答压轴题

新定义题型

1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数，，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”

(1)判断函数①，②是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；

(2)若函数（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；

(3)若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有．

2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的，都有成立，则称为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差.

(1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）

(2)求函数的全变差；

(3)证明：函数是上的有界变差函数.

3．（2023上·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.

(1)证明：函数为区间上的“倍缩函数”；

(2)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；

(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

4．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数的定义域为R，且对，都有，则称为“J形函数”

(1)当时，判断是否为“J形函数”，并说明理由；

(2)当时，证明：是“J形函数”；

(3)如果函数为“J形函数”，求实数a的取值范围.

5．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联．

(1)判断函数是否是关联，并说明理由：

(2)若是关联，当时，，解不等式：；

(3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论．

抽象函数

6．（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知函数在定义域上是严格增函数.

(1)若，求的值域；

(2)若的值域为，求的值；

(3)若，且对定义域内任意自变量均有成立，试求的解析式.

7．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有，，且，则称函数f（x）为“L函数”.

(1)试判断函数是否是“L函数”，并说明理由；

(2)若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；

(3)若函数f（x）为“L函数”，且，求证：对任意，都有.

8．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”．

(1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）；

(2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有；

(3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由，

①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数；

②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数．

9．（2022上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”．

（1）试判断函数与是否是“L函数”；

（2）若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；

（3）若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有．

零点问题

10．（2022上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质．

(1)若函数具有性质，求的值

(2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质

(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点．

11．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知函数，．

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（3）用表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数．

12．（2023上·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）设，函数的表达式为，函数的表达式为，有四个零点，设为.

(1)求实数的取值范围；

(2)求的取值范围．

13．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数在时有最大值和最小值，设.

(1)求实数，的值；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

(3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

二次函数（包括含绝对值）、对勾函数

14．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：

①f（x）在[m，n]内是单调函数；

②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．

（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．