专题强化一：随机变量及其分布题型归纳 解析版.docx

专题强化一：随机变量及其分布题型归纳

【题型归纳】

题型一：随机变量的分布列问题

1．（22-23高二下·河南商丘·期中）已知随机变量的分布列为

0

1

则实数（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据随机变量的分布列性质概率之和为1可得.

【详解】由题意：，

可得：.

故选：D.

2．（21-22高二下·广东东莞·期中）一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.

(1)求取出的3个球恰有一个红球的概率；

(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析.

【分析】设出事件，利用超几何分布求概率公式进行求解；（2）写出随机变量X的可能取值及相应的概率，求出分布列.

【详解】（1）设取出的3个球恰有一个红球为事件A，

则

（2）随机变量X可能取值为0,1,2,

，，，

故X的分布列为：

X

0

1

2

P

3．（21-22高二·全国·课时练习）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．

(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；

(2)设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】(1)利用对立事件概率公式能求出选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；

(2)根据题意，的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．

【详解】（1）解：由题意可知，选出的3名同学全是男生的概率为，

所以选出的3名同学中至少有1名女生的概率；

（2）解：根据题意，的可能取值为，则

，，

，

所以的分布列为：

题型二：利用均值和方差的性质求解

4．（22-23高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量的分布列如下，则（????）

A．3 B．9 C．27 D．11

【答案】B

【分析】根据均值和方差公式求出与，再利用方差的性质进行求解即可．

【详解】由题意可得，

此时，

所以．

故选：B．

5．（22-23高二下·山东滨州·期中）已知，且，，则下列说法不正确的有（????）

A．， B．

C． D．中是最大值

【答案】D

【分析】

根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断AB；利用根据二项分布概率公式即可计算判断CD．

【详解】

因为，，

所以，，

由，所以，，所以，，故A正确；

，B正确；

又，故C正确；

，

令，

故当时，所以，

而当时，所以，

因此是最大值，D错误．

故选：D．

6．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果.

【详解】随机变量服从两点分布，其中，，

，

，

在A中，，故A正确；

在B中，，故B正确；

在C中，，故C错误；

在D中，，故D正确.

故选：C.

题型三：利用均值和方差解决风险和决策问题

7．（2024·广东·模拟预测）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立.

(1)随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率；

(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：

方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作；

方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作.

假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值.

【答案】(1)

(2)方案一大于方案二

【分析】

（1）利用条件概率公式，即可求解；

（2）首先确定两种方案成功次数的取值，根据独立事件概率公式求概率，再比较其数学期望.

【详解】（1）用事件表示选择甲种无人运输机，用事件表示选择乙种无人运输机，

用事件表示“选中的无人运输机操作成功”

则，

（2）设方案一和方案二操作成功的次数分别为，，则，的所有可能取值均为0，1，2，

方案一：，

，

，

所以.

方案二：

，

，

，

所以.

所以，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值.

8．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲