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5.3.2课时3导数的
综合应用
第五章一元函数的导数及其应用
学习目标
1.利用导数求解与函数相关的问题.2.掌握导数在实际问题中的应用.
…
新知讲解
例7给定函数f(x)=(x+1)ex.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
(2)画出函数f(x)的大致图象；
(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.
解：(1)函数的定义域为x∈R
∵f(x)=(x+1)ex+(x+1)(ex)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex
令f(x)=0,解得：x=-2.
所以，
f(x)在区间(-0,-2)上单调递减，在区间(-2,+o)
上单调递增.
当x=-2时，
f(x)有极小值
x
(一0,-2)
-2
(-2,+o)
f(x)
一
0
十
f(x)
单调递减
单调递增
当x变化时，f(x)
f(x)的变化情况如表所示：
(2)令f(x)=0,解得：x=-1.
当x-1时，f(x)0;当x-1时，f(x)0.
所以f(x)的图象经过特殊点,B(-1,0),C(0,1).
当x→-o时，与一次函数相比，指数函数y=e-x呈爆炸性增长，
当x→+时，f(x)→+0,f(x)→+0
根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示：
新知讲解
所以，方程f(x)=a的解得个数有如下结论；
∴当时，方程的解为0个；
或a≥0时，方程的解为1个；
当时，方程的解为2个.
(3)方程f(x)=a(a∈R)的解的个数，为两函数图象交点的个数
由(1)及图可得，当x=-2时，有最小
新知讲解
………
通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：
(1)求出函数f(x)的定义域；
(2)求导数f(x)及函数f(x)的零点；
(3)用零点将f(x)定义域为若干个区间，列表给出f(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)单调性与极值；
(4)确定f(x)图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f(x)的大致图象.
反馈训练
1.
变式：f₁(x)■xe
y个f(x)■xe*
-10
1
e
f(x
f₂(x)■xf₃(x)●f₄(x)xlnxfsx)f。(x)nx
x
X
反馈训练
1.f(x
f₄(x)●xlnxf₅(x)■f₆(x)nx
变式：f₁(x)■xe*
;(
…
证明：设f(x)=sinx-x,x∈(0,π).
则f(x)=cosx-10.
∴f(x)在(0,π)上单调递减。
∴f(x)f(0)=0,即sinx-x0,
∴sinxx.
分别作出函数y=sinx和y=x的图象，如图示.
反馈训练
2.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：sinxx,x∈(0,π).
新知讲解
二、导数在解决实际问题中的应用
问题饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?
(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大?
例8某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr²分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?
例8某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr²分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?
解：(1)由题意可知，每瓶饮料的利润是
∴f(r)=0.8π(r²-2r),令f(r)=0,解得r=2.
∴当0r2时，f(r)单调递减；当2r6时，f(r)单调递增.∴当瓶子半径r=6c
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