不动点迭代法及其收敛定理.ppt

例3.为线性收敛证明:所以例4.至少是平方收敛的由定义1注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?证明:令则所以由定理2该迭代法至少是平方收敛的Newton迭代法的特征Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其迭代矩阵为:Newton迭代是局部线性化方法,它在单根附近具有较高的收敛速度.方法有效前提:5.Newton迭代法的应用----------开方公式对于给定正数应用牛顿迭代法解二次方程可导出求开方值的计算公式设是的某个近似值，则自然也是一个近似值，上式表明，它们两者的算术平均值将是更好的近似值。定理开方公式对于任意给定的初值均为平方收敛。牛顿迭代法的优缺点优点：在单根附近,牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确解。缺点:1.重根情形下为局部线性收敛;2.牛顿迭代法计算量比较大:因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值;3.选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果;缺点克服:局部线性收敛------改进公式或加速每步都要计算微商值-----简化Newton迭代法或弦截法初值近似问题-------二分法求初值或”下山算法”牛顿迭代法的改进方法一.若已知重数m(m1),则利用m构造新的迭代公式:此时,,至少2阶收敛.不实用:m往往不确定.方法二.取,再对函数F(x)用Newton迭代:此时,X*为F(x)的单根,所以是2阶收敛.但要用到二阶导数.6.Newton法的改进(I)---重根情形6.Newton法的改进(II)1Newton迭代法3复杂！2需要求每个迭代点处的导数f’(xk)4这种格式称为简化Newton迭代法5精度稍低则Newton迭代法变为这种格式称为弦截法收敛阶约为1.618例4用简化Newton法和弦截法解下面方程的根，并和Newton迭代法比较解:由简化Newton法由弦截法由Newton迭代法§6.2不动点迭代法及其收敛定理第6章方程与方程组的迭代解法-------(2)继续-------(3)123称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法将非线性方程f(x)=0化为一个同解方程4一、迭代法原理0102030405则称迭代法(3)收敛,否则称为发散-------(4)例1.解:将原方程化为等价方程显然迭代法发散如果将原方程化为等价方程仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此类推,得已经收敛,故原方程的解为同样的方程不同的迭代格式有不同的结果什么形式的迭代法能够收敛呢?迭代函数的构造有关如果将(2)式表示为与方程(2)同解收敛发散迭代过程的收敛性定理1.-------(5)-------(6)-------(7)(局部收敛性)证:由条件(1)由根的存在定理,由证:由微分中值定理证毕.只要构造的迭代函数满足定理1指出,由(6)式,只要因此,当迭代就可以终止,-------(8)定义1：如果存在的某个邻域，使迭代过程对于任意初值均收敛，则称迭代过程在根邻近具有局部收敛性。例2.用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位解:本题迭代函数有两种构造形式因此采用迭代函数d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265e-003d5=0.1390e-004d6=-0.1500e-005d7=0.1000e-006由于|d7|=0.1000e-0061e-6因此原方程的解为x7=0.090525x1=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0