方程求根计算方法.ppt

例2.7用牛顿法求方程在x=0.5附近的根。§2.4牛顿法解：把方程写成于是取x0=0.5，得到第103页,共128页，星期六，2024年，5月§2.4牛顿法k0123xk0.50.571020.567160.56714用简单迭代法得k0123…18xk0.50.606530.545240.57970…0.56714第104页,共128页，星期六，2024年，5月§2.4牛顿法例2.8用牛顿法求Leonardo方程的根,设x0=2，要求解：第105页,共128页，星期六，2024年，5月§2.4牛顿法k01…45xk21.6…1.3688081091.368808108故【注】Leonardo在1225年研究了该方程，并得到x=1.368808107的结果，此时f(x)=-0.000000009，这在当时是非常重要的结果，但无人知道他是如何得到的。第106页,共128页，星期六，2024年，5月例2.9用牛顿法求的近似值，精度。§2.4牛顿法解：化为求x2-115=0的正根，牛顿迭代公式为取初值x0=10，经过4次迭代，得x*=10.723805第107页,共128页，星期六，2024年，5月【思考题】对于牛顿迭代公式，证明§2.4牛顿法第108页,共128页，星期六，2024年，5月§2.5牛顿下山法第二章方程求根第109页,共128页，星期六，2024年，5月牛顿法的收敛性和初始迭代值有关，如果初始迭代值离方程根较近，则迭代收敛性可以保证；如果初始值距离方程根较远，则收敛过程可能发散。但是通常情况下很难给出一个离根较近的初始值，因为根无法预先知道。§2.5牛顿法下山法第110页,共128页，星期六，2024年，5月我们发现这样一个事实：通常在根附近|f(x)|是单调下降的，即越接近根，|f(x)|越小，所以|f(xk)||f(xk+1)|。于是我们把这个条件作为一个约束引入到迭代方程。满足这个约束条件的算法叫下山法。§2.5牛顿法下山法第111页,共128页，星期六，2024年，5月具体作法：先得到牛顿法结果把与xk作加权平均得到：叫下山因子,时即为牛顿法。§2.5牛顿法下山法第112页,共128页，星期六，2024年，5月可以通过选取值使得|f(xk)||f(xk+1)|。通常先令开始，若上式不成立则减半，直到上式成立如果已经很小，上式仍不成立，则下山失败。意味着新的若不满足下山条件，则加大上一步结果的权重。§2.5牛顿法下山法第113页,共128页，星期六，2024年，5月例2.10用牛顿下山法求方程f(x)=x3-x-1=0在1.5附近的根，精确到7位有效数字，取x0=0.6。§2.5牛顿法下山法解：应用牛顿下山公式第114页,共128页，星期六，2024年，5月§2.5牛顿法下山法kxkf(xk)010.6-1.3840001117.8999805716.42101/29.249990781.20070………1/321.140624-0.656644211.3668140.186641…………611.3247180.000000第115页,共128页，星期六，2024年，5月§2.6割线法第二章方程求根第116页,共128页，星期六，2024年，5月在牛顿法中，，需要计算f(x)的导数f’(x)，有时不易求f’(x),可以考虑用一个容易计算的近似值来代替f’(x)§2.6割线法于是！！！第117页,共128页，星期六，2024年，5月在开始迭代时,必须给定两个点(x0,x1),然后才能迭代，计算中要注意f(xk)-f(xk-1)的值以防止溢出,可以用判断是否收敛。作业：写出割线法的算法。§2.6割线法第118页,共128页，星期六，2024年，5月§2.7迭代过程加速方法第二章方程求根第119页,共128页，星期六，2024年，5月加速方法的构造§2.3迭代过程加速方法假设在