江苏专用2025版高考数学大一轮复习第三章3第三节导数与函数的极值最值精练.docxVIP

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第三节导数与函数的极值、最值

课时作业练

1.函数y=2x-1x2的极大值是

答案-3

解析因为y=2x-1x2,所以y=2+

2.已知函数f(x)=ex-elnx,则f(x)的最小值为.?

答案e

解析易知f(x)=ex-ex=x

令f(x)=0,解得x=1.

当x∈(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,f(x)0,f(x)单调递增,

所以f(x)min=f(1)=e.

3.(2024江苏泰兴中学期中)已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数在[-2,2]上的最小值是.?

答案-37

解析由题意得f(x)=6x2-12x=6x(x-2),则f(x)在[-2,0]上单调递增,在(0,2]上单调递减,所以x=0为f(x)的极大值点,也为最大值点,则f(0)=m=3,所以f(-2)=-37,f(2)=-5,故最小值是-37.

4.(2024江苏苏州调研测试)已知x=0是函数f(x)=(x-2a)(x2+a2x+2a3)的微小值点,则实数a的取值范围是.?

答案(-∞,0)∪(2,+∞)

解析易知f(x)=3x2+(2a2-4a)x=3xx-4a-2

5.(2024江苏扬州中学高三开学考)已知函数f(x)=(x+m)lnx,m∈R,当x≠1时,恒有

(x-1)f(x)0,则关于x的不等式f(x)2x-2的解集为.?

答案(1,e2)

解析由(x-1)f(x)0可得f(x)在x=1处取得微小值,f(x)=lnx+x+

-1,f(x)2x-2?(x-1)·lnx2(x-1)?0x1,ln

6.(2024镇江高三期末)函数f(x)=cosx-xtanx的定义域为-π4,

答案2

解析f(x)=cosx-xsin

f(x)=-sinx-(sinx+

且x∈-π4,0时,f(x)0,函数f(x)递增,x∈0,π4时,f(x)0,函数f(x)递减,所以当x=0时,f(x)取得最大值1,当x=-π4或

7.(2024江苏淮阴中学第一学期阶段检测)函数f(x)=ex+m,g(x)=1+lnx,且f(a)=g(b),若a-b的最大值为2,则实数m的值为.?

答案-3

解析令f(a)=g(b)=k,k0,则a=lnk-m,b=ek

令f(k)=a-b=lnk-m-eke,k0,则f(k)=1k-eke

8.(2024苏州学业阳光指标调研)已知直线y=a分别与直线y=2x-2,曲线y=2ex+x交于点A,B,则线段AB长度的最小值为.?

答案3+ln2

解析由题意可设A(x1,a),B(x2,a),则a=2x1-2,a=2ex2+x

|AB|=|x1-x2|=a+22-x2=2ex2+x2

f(x)=0,得x=ln12,且xln12时,f(x)0,f(x)递减,xln12时,f(x)0,f(x)递增,则f(x)min=fln12=32-12

9.(2024江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在

[-1,1]上的最大值与最小值的和为.?

答案-3

解析∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

若a≤0,则x0时,f(x)0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零点,∴a0.

当0xa3时,f(x)0,f(x)为减函数;当xa3时,f(x)0,f(x)为增函数,∴x0时,f(x)有微小值,为fa3

∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,

∴fa3

∴f(x)=2x3-3x2+1,则f(x)=6x(x-1).

x

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

f(x)

+

-

f(x)

-4

增

1

减

0

∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.

∴最大值与最小值的和为-3.

10.(2024江苏五校高三模拟)已知函数f(x)=lnx,g(x)=x-1.

(1)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程;

(2)证明:f(x)≤g(x);

(3)若不等式f(x)≤ag(x)对随意的x∈(1,+∞)均成立,求实数a的取值范围.

解析(1)∵f(x)=1x

又f(1)=0,∴切线的方程为y-f(1)=f(1)(x-1),

即所求切线的方程为y=x-1.

(2)证明:设h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x+1,则h(x)=1x

令h(x)=0,得x=1,

当x改变时,h(x),h(x)