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走出求切线方程的误区

求经过定点的曲线的切线方程，主要利用导数的几何意义求解，思路明确，方法直接，但“小知识点”中却隐藏着“大问题”，稍有不慎就会出错。不信，请看下面的两个题目：

误区1.点在不在曲线上

例1.求过点的曲线的切线方程．

错解：，，

故过点的曲线的切线方程为，

即．

分析：由导数的几何意义知是曲线在点处的切线的斜率，其中点在曲线上，而点不在曲线上．故上述解法不对．

正解：设切点坐标为，，

则过点的切线方程为：，

求得，或，或．

将的值分别代入切线方程，得到三条切线方程：，和．

误区2.“经过某点的切线”和“在某点处的切线”

例2．求曲线的过点的切线方程．

错解：：显然点在曲线上，且，．

故所求切线方程为，即．

分析：：曲线“过点的切线”与“曲线在点处的切线”不同，前者既包括点处的切线，也包括过点但切点为另一点的切线．因此，解题时必须理清头绪，弄清题意．

正解：：设切点为，

，

在点处的切线方程为．

又切线过点，

，

整理，得，即．

或．

当时，切线方程为，当时，切线方程为．

由以上两个误区我们可以归纳一下这类题目的求法，首先确定给定点是否在曲线上，不在曲线上，要设出切点，如果定点在曲线上，审清题意，是“过定点”还是“在定点处”，“过定点”也要设切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而求切线方程。