2024-2025学年上海同一附中高三上学期数学期中试卷及答案（2024.10）.docx

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同济附中2024学年第一学期高三年级数学期中

2024.10

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．不等式的解集是________．

2．已知复数（是虚数单位），则________．

3．已知，，，则的最小值为________．

4．若，，则________．

5．若、、三点不能构成三角形，则________．

6．某市高考新政规定每位学生在物理、化学、生物、历史、政治、地理中选择三门作为等级考试科目，则甲、乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有________种．（用数字作答）

7．已知为等差数列，其前项和，若，，，则________．

8．过直线上的一点作圆的两条切线，，当直线，关于对称时，它们之间的夹角为________．

9．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为________．

10．如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是________．

11．已知，若，，则实数的最大值为________．

12．已知数列满足：对于任意正整数有，且，，其中．若，数列的前项和为，则________．

二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）

13．下列四个命题是真命题的是（）

A．如果直线不平行于平面，那么平面内不存在与平行的直线

B．如果直线平面，平面平面，那么直线平面

C．如果直线与平面相交，平面平面，那么直线与平面也相交

D．如果平面平面，平面平面，那么平面平面

14．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

党史学习时间（小时）

7

8

9

10

11

党员人数

6

10

9

8

7

则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（）

A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9

15．已知椭圆，过点且倾斜角为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为（）

A． B． C． D．

16．定义：如果函数在上存在，，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

三、解答题

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别为棱，的中点，，平面平面．

求证：（1）平面；（2）平面．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知向量，，函数．

（1）设，且，求的值；

（2）在中，，，且的面积为，求的值．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：（单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点．

（1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长；

（2）当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；

（3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和常数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．

（1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；

（2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围；

（3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围．

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.2312.

二、选择题

13.C1