考点19 排列组合（原卷版）-2024年新高考艺体生一轮复习 .docx

考点19排列组合

一．两个计数原理

1.分类加法计数原理

（1）概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

（2）特征

①每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事

②各类方法之间是互斥的、并列的、独立的

2.分步乘法计数原理

（1）概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

（2）特征

①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事

②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏

3.分类加法和分步乘法计数原理区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

4.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

(1)弄清完成一件事是做什么．

(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．

(3)弄清分步、分类的标准是什么．

(4)分类要做到不重不漏．

二．排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数

组合数

定义

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数

公式

Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)

性质

Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1

Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)

排列、组合常见类型及解题思路

（一）常用方法

1.特殊优先

2.相邻捆绑法

3.不相邻插空法

4.定序倍缩法

5.对于分堆与分配问题应注意三点

①处理分配问题要注意先分堆再分配.

②被分配的元素是不同的.

③分堆时要注意是否均匀.

6.相同元素隔板法

7.圆形排列问题：n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中

考点一排列组合数的计算

【例1】（2023·江西）化简计算

（1）；（2）（3）（4）

【变式】

1．（2024·河北）（多选）下列式子正确的是（????）

A． B． C． D．

2．（2024背景）已知自然数满足，则（????）．

A．2 B．3 C．4 D．5

4.（2023上·江西抚州）（1）求值:；

（2）解不等式:.

（3）解关于x的不等式．

（4）求等式中的n值．

考点二排列

【例2-1】（2024·全国·高三专题练习）3名女生和5名男生排成一排．

(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法?

(2)如果女生都不相邻，有多少种排法?

(3)如果女生不站两端，有多少种排法?

(4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法?

(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法?

【例2-2】（2023北京）用0、1、2、3、4五个数字．

(1)可组成多少个五位数？

(2)可组成多少个无重复数字的五位数？

(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？

(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？

(5)组成没有重复数字的五位数，将这些数字由小到大排列，42130是第几个数？

【变式】

1.（2023广东潮州）用0，1，2，3，4五个数字．

(1)可组成多少个五位数；

(2)可组成多少个无重复数字的五位数；

(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；

(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．

(5)可以排成多少个不重复的能被2整除的五位数？

(6)可以排成多少个四位数？

(7)可以排成多少个四位数字的电话号码？

2．（2023湖北）名同学，其中名男同学，名女同学：

（1）站成一排，共有多少种不同的排法？

（2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？

（3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？

（4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

（5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多

少种不同的排法？

（6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

（7）站成一排，甲、乙不能