考点20 二项式定理（解析版）-2024年新高考艺体生一轮复习.docx

考点20二项式定理

一．二项式定理

（1）二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)

（2）通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项

（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)

（4）项数为n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n

指定项的系数或二项式系数

1.解题思路：通项公式

2.常见指定项：若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：

(1)h(r)＝0?Tr＋1是常数项

(2)h(r)是非负整数?Tr＋1是整式项

(3)h(r)是负整数?Tr＋1是分式项

(4)h(r)是整数?Tr＋1是有理项

三．二项式系数的性质

四．系数和---赋值法

1．赋值法的应用

(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．

(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

2．二项式系数最大项的确定方法

(1)如果n是偶数，则中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；

(2)如果n是奇数，则中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．

五．常见解题思路

1.求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤

①利用二项式定理写出二项展开式的通项公式，常把字母和系数分离(注意符号不要出错)；

②根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；

③把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．

2.求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤

①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；

②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；

③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．

3.求三项展开式特定项的方法

①通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．

②将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．

4.二项展开式系数最大项的求法

如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解出k来，即得．

5.整除问题：用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．

6.近似运算：利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．

考点一二项式指定项的系数

【例1-1】（2023·四川南充·统考一模）二项式的展开式中常数项为（????）

A． B．60 C．210 D．

【答案】B

【解析】展开式的通项为，所以，

常数项为，故选：B.

【例1-2】（2024·贵州·校联考模拟预测）在的展开式中，含的项的系数为（????）

A．8 B．28 C．56 D．70

【答案】B

【解析】展开式的通项公式，

当时，即时，有，所以含的项的系数为，故选：B.

【例1-3】（2023·山东青岛）若的展开式中共有个有理项，则的值是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】的展开式通项为，，当时，为有理项，故.

故选：C.

【变式】

1．（2024·四川绵阳·统考二模）的展开式中，x的系数为（????）

A． B． C．5 D．10

【答案】A

【解析】的展开式的通项为．

令，得．的系数为．故选：A．

2．（2024·陕西宝鸡·统考一模）展开式中的第四项为（????）

A． B． C．240 D．

【答案】B

【解析】展开式的通项公式为，

所以,故选：B

3．（2024上·全国·高三