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专题19阿基米德折弦定理

一、方法突破

【问题呈现】

阿基米德(archimedes，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学

家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在

较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如下图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BCAB，M是



ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。

M

C

B

D

A

【证明方法】

方法1:补短法

如图，延长DB至F，使BF=BA



∵M是ABC的中点

∴∠MCA=∠MAC=∠MBCMC

∵M、B、A、C四点共圆B

D

F

∴∠MCA+∠MBA=180°

∵∠MBC+∠MBF=180°A

∴∠MBA=∠MBF

∵MB=MB,BF=BA

∴△MBF≌△MBA

∴∠F=∠MAB=∠MCB

∴MF=MC

∵MD⊥CF

∴CD=DF=DB+BF=AB+BD

方法2:截长法

如图，在CD上截取DG=DB

∵MD⊥BG

∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

M

C

∵M是ABC的中点

BG

∴∠MAC=∠MCA=∠MGBD

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA

A

又∠MGB=∠MCB+∠GMC

∴∠BMA=∠GMC

∵MA=MC

∴△MBA≌△MGC(SAS)

∴AB=GC

∴CD=CG+GD=AB+BD

方法3:垂线法

如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。



∵M是ABC的中点

H

M

C

∴MA=MC

BG

∵MD⊥BCD

∴∠MDC=90°=∠H

∵∠MAB=∠MCBA

∴△MHA≌△MDC(AAS)

∴AH=CD，MH=MD

又∵MB=MB

∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)

∴HB=BD

∴CD=AH=AB+BH=AB