湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题（B卷）.docx

2024高二第一学期期末质量检测考试

数学（B卷）

（考试范围：必修一、二，选择性必修一~选择性必修二5.2）

时量：120分钟满分：150分

得分：______

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（）

A. B. C. D.

2.已知（为虚数单位），则复数的虚部为（）

A. B.1 C. D.

3.在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（）

A. B. C. D.

4.在下列函数中，周期为的函数是（）

A. B.

C. D.

5.有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为，若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则（）

A.三人都解出的概率为 B.没有人能解出的概率为

C.恰有一人解出的概率为 D.恰有两人解出的概率为

6.在正四棱台中，，，，则（）

A. B.2 C. D.

7.已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，

且数列的前项和为，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）

A. B.

C. D.

8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中、有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.当变化时，指出方程表示的曲线的形状，下列说法正确的是（）

A.存在实数使得方程表示轴 B.存在实数使得方程表示圆

C.不存在实数使得方程表示椭圆 D.存在实数使得方程表示双曲线

10.如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（）

A.点到平面的距离为

B.与所成角的余弦值为

C.三棱锥的外接球的体积为

D.直线与平面所成角的正弦值为

11.已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（）

A. B.

C.为奇函数 D.为奇函数

选择题答题卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

得分

答案

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知等差数列的前项和为，，则______.

13.曲线在处的切线方程为______.

14.如图，在平面直角坐标系中，设，，，为椭圆的四个顶点，为线段靠近原点处的三等分点，若点关于直线的对称点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题13分）已知的三个顶点分别为，，.

（1）求的面积；

（2）求的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.

16.（本小题15分）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，位于第一象限的点为上一点，，且垂直于轴.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知直线与交于，两点，求证：，，，四点共圆.

17.（本小题15分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，

，，是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

18.（本小题17分）已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.

（1）求直线的方程（用，表示）；

（2）当点运动时，求点（的横坐标为的横坐标，的纵坐标为的纵坐标）的轨迹的方程；

（3）已知点，若直线不过点且与曲线相交于，两点，并且有，问是否存在直线使得的面积为72？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.

19.（本小题17分）若正整数数列满足：对任意的，都有恒成立，则称数列为“差增数列”.

（1）若1，，，8为“差增数列”，写出所有可能的，；

（2）若“差增数列”满足：，，求的最大值；

（3）对所有可能的“差增数列”，记（表示数集中的最大值），求的最小值.

2024年高二第一学期期末质量检测考试

数学（B卷）参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

C

B

B

C

D

A

D

A

ACD

ABD

BC

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.C【解析】集合，，则.

2.B【解析】由，得，所以复数的虚部为1.

3.B【解析】，，，.

4.C【解析】A.，周期为；B.，周期为；C.，周期为；D.，周期为，故选C.

5.D【解析】三人都解出的概率为，A错；没有人能解出的概率为，B错；恰有一人解出的概率为，C