格林公式曲线积分.ppt

注2若满足定理21.12的条件,则由上述证明可看到二元函数具有性质第31页,共37页，星期六，2024年，5月例5试应用曲线积分求的原函数.解这里在整个平面上成立由定理21.12,曲线积分我们也称为的一个原函数.第32页,共37页，星期六，2024年，5月为此,取取路线为图21-22中的折注由例4可见,若线段于是有只与起点A和终点B有关,而与路线的选择无关.则求全微分的原函数可用公式第33页,共37页，星期六，2024年，5月或下例介绍用“凑微分”法求全微分的原函数.例6求全微分的原函数解由于第34页,共37页，星期六，2024年，5月因此是某个函数的全微分.由第35页,共37页，星期六，2024年，5月可见其中为任意常数.第36页,共37页，星期六，2024年，5月复习思考题验证格林公式的另一形式:其中是的边界上任一点处的外法线向量.第37页,共37页，星期六，2024年，5月返回后页前页格林公式曲线积分一、格林公式设区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为:当人沿边界行走时,区域D总在它的左边,如图21-12所示.与上述规定的方向相反的方向称为负方向,记为第2页,共37页，星期六，2024年，5月定理21.11若函数在闭区域D上有连续的一阶偏导数,则有(1)这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.公式(1)称为格林公式.证根据区域D的不同形状,这里对以下三种情形(i)若D既是x型又是y型区域(图21-13),则可表为作出证明:第3页,共37页，星期六，2024年，5月又可表为这里和分分别是曲线和的方程.于是别为曲线和的方程,而和则图21-13第4页,共37页，星期六，2024年，5月同理又可证得第5页,共37页，星期六，2024年，5月将上述两个结果相加即得(ii)若区域D是由一条按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将D分成有限个既是x型第6页,共37页，星期六，2024年，5月又是y型的子区域(如图21-14),则可逐块按(i)得到它们的格林公式,然后相加即可.如图21-14所示的区域D,可将它分成三个既是x型又是y型的区域于是第7页,共37页，星期六，2024年，5月(iii)若区域D由几条闭曲线所围成,如图21-15所示.这把区域化为(ii)的情形来处时可适当添加线段理.在图21-15中添加了后,D的边界则由第8页,共37页，星期六，2024年，5月注1并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是型又是型区域的并集,例如由及构成.由(ii)知第9页,共37页，星期六，2024年，5月所围成的区域便是如此.注2为便于记忆,格林公式(1)也可写成下述形式:注3应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.请看以下二例:第10页,共37页，星期六，2024年，5月第一象限部分(图21-16).解对半径为r的四分之一圆域D,应用格林公式:由于因此例1计算其中曲线是半径为r的圆在第11页,共37页，星期六，2024年，5月例2计算其中L为任一不包含原点的闭区域的边界线.解因为它们在上述区域D上连续且相等,于是第12页,共37页，星期六，2024年，5月所以由格林公式立即可得在格林公式中,令则得到一个计算平面区域D的面积SD的公式:(2)第13页,共37页，星期六，2024年，5月例3计算抛物线与x轴所围图形的面积(图21-17).解曲线由函数表示,为直线于是第14页,共37页，星期六，2024年，5月第15页,共37页，星期六