预习篇 第9讲 平面向量的数量积 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习 （人教A版2019）（解析版）.docx

第9讲平面向量的数量积

本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！

1概念

如果两个非零向量?a,b，它们的夹角为θ，我们把数量a|b|cosθ叫做a与b的数量积(

2投影

?a,b是非零向量，向量a在向量b上的投影：|a

3数量积的性质

设?a,b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与

(1)a⊥

(2)当a与b同向时，a?b=|a||b|

特殊地，a2

4运算法则

对于向量?a,b,

(1)a?b=

但是?(a?

即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律.

【题型1】数量积的概念

【知识点解读】

如果两个非零向量?a,b，它们的夹角为θ，我们把数量a|b|cosθ叫做a与b的数量积(

解释

(1)如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力所做的功W=

(2)规定：零向量与任一向量的数量积是0;

(3)若θ=π2，那我们说a与b

(4)数量积是一个实数，不再是一个向量；

(5)注意确定向量的夹角θ，其中a与b的夹角θ=40°，而a与c的夹角θ

【典题1】在正三角形△ABC中，AB＝2，M，N分别为AB，AC的中点，则AM?BN＝(

A．-32 B．-32 C．3

解析由题知，|AM|=1,|BN|=3

所以AM?

故选：A．

【典题2】已知a?b=-33,|a|=2,|

解析设向量a与b的夹角为θ，

∵a?b

∵θ∈[0,π

【巩固练习】

1.(★)若?ABC是边长为2的等边三角形，则数量积AB?

答案-

解析AB?

2.(★★)设单位向量a与b满足a?b=12，则a

答案π

解析设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，

因为向量a与b为单位向量，可得|a|=|b|=1，且a?b=12

【题型2】数量积的性质

【知识点解读】

1数量积的性质

设?a,b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与

(1)a?

(2)a⊥

(3)a2=|a|2

2运算法则

对于向量?a,b,

(1)a?b=

但是?(a?

(当向量a，c不共线时，向量a(b?c

即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律.

【典题1】已知平面向量a,b，|a|=2,|b|=2，且a

(1)求|a+b|；(2)若a-

解析(1)根据题意，|a|=2,|b|=2，且a与

则|a

则有|a

(2)根据题意，若a-b与

则(a

即2-2k=0，解可得

【典题2】已知平行四边形ABCD中，AB=32，AD＝2，∠ABC＝135°，若DE=λDC，BD?AE

A．13 B．23 C．25

解析∵平行四边形ABCD中，AB=32，AD＝2，∠ABC＝135°，

∴BD

=(AD

=4+λ

∴12λ＝4，∴λ=

故选：A．

【巩固练习】

1.(★)已知向量a,b满足|a|=3,a

A．﹣1 B．2 C．15 D．19

答案D

解析因为|a

所以(a

故选：D．

2.(★★)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，a

A．1B．3C．23D．

答案C

解析|a

∴|a

3.(★★)已知非零向量a,b满足|a|=34|b|，

A．9 B．10 C．11 D．－16

答案D

解析∵已知非零向量a,b满足|a

若(m

∴(m

求得m=

故选：D．

4.(★★)已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则AD?BE=

A．-32 B．﹣1 C．-12

答案A

解析由题意，AD

=1

故选：A．

5.(★★★)在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠A＝60°，点P是△ABC的重心，则|PA|2+|PB

A．7 B．8 C．263 D．

答案D

解析∵点P是△ABC的重心，∴PA+

∴PA

PB=-(

PC=-(PA

又AC＝2，AB＝3，∠A＝60°，

∴AB?

∴|PA

|PB

|PC

∴|PA

故选：D．

6.(★★★)已知向量a，b满足|a|=3,|b|=32,|a+

答案15

解析∵|a+b|=5

又|a

∴9+2a?b+18=25

∴(3a

故答案为：15．

7.(★★★)在三角形ABC中，若|AB+BC|=|AB-BC|，AC=6，AB=3

答案15

解析若|AB

则AB2+B

∵AC=6,AB

∵E,F

则AE

=2

8.(★★★)设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0

答案-

解析由三角形垂心性质可得，HA?HB

不妨设HA?

∵3HA

∴3HA

∴|HB|=-

∴cos?

9.(★★★)如图，已知△ABC的外接圆O的半径为4，A