预习篇 第10讲 平面向量的基本定理和平面向量的坐标运算 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）（解析版）.docx

第10讲平面向量的基本定理和平面向量的坐标运算

本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！

1平面向量的基本定理

设?e1，e2同一平面内的两个不共线向量，?a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(λ，

我们把{e1，e

2正交分解及其坐标表示

①正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；

②向量的坐标表示

在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量?i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为

(x,y)称为向量a的坐标，a

向量a=(x,y

3平面向量的坐标运算

设a=(

(1)向量的模a=

(2)向量的加减法运算a+b=

(3)若A(x1,y

(4)实数与向量的积λ

(5)θ为a与b的夹角，则

①数量积a?

②夹角余弦值cosθ

4平面向量的位置关系

（1）平行向量

若a(x1,y

（2）平面向量垂直

若?a(x1

【题型1】平面向量的基本定理

【知识点解读】

设?e1，e2同一平面内的两个不共线向量，?a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(λ，

我们把{e1，e

如下图，a=OM+ON=

解释

(1)基底{e1，e2}要求?e

(2)唯一性：若e1，e

(3)平面内任一向量均可由同一个基底唯一表示，这对研究问题带来极大的便利.

【典题1】如果e1,e2

A．e1与e1+e2 B

C．e1+e2与e1

解析e1

所以对于选项ABC都为不共线向量，选项De1-2

故选D．

【典题2】如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+

A．－3 B．-1312 C．1312

解析∵AD

∵CP∥CD，∴

又∵AP=m

∴m-1=-k12

则AP

=1

故选：C．

【巩固练习】

1.(★)若e1，e2是平面α

A.λe1+μ

B.对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+

C.若λ1,μ1,λ2,

D.若存在实数λ，μ使λe1

答案D

解析对于A，因为e1，e2是平面α内两个不共线的向量，所以e1，e2可以作为平面中所有向量的一组基底，故A错误；

对于B，由平面向量基本定理可知，B错误；

对于C，当λ1=λ2=

2.(★★)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC=a，

A．14a+12bB．23a+1

答案B

解析易知△DFE

又∵E是OD

AF=

=1

3.(★★)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE

答案4

解析如图所示，设AB

则AE=12a

∵AC

∴a

∴12λ

∴λ

4.(★★★)在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设AB=a，AC=b，则AP=（用a，b表示）

答案1

解析由△ABC中，D,E

∴AD=1

∵B,P

∵C,P

∴m=1

∴AP

∴AP

5.(★★★)如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若MN=λ

答案2

解析在长方形ABCD中，向量AB,AD不共线，M，N分别为线段

则有AM=AB+

MN=MC+CN=-

则有-1

于是得λ-12μ=-1

【题型2】平面向量的坐标运算

【知识点解读】

1正交分解及其坐标表示

①正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解；

如上图，重力G分解成平行斜面的力F1和垂直于斜面的压力F

②向量的坐标表示

在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量?i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为

(x,y)称为向量a的坐标，a

向量a=(x,y

2平面向量的坐标运算

设a=(

(1)向量的模a

(2)向量的加减法运算a+b

(3)若A(x1,y

(4)实数与向量的积λ

3平面向量数量积的坐标表示

设a=(x1,y1),

(1)数量积a?

(2)夹角余弦值cosθ

证明（1）因为a=x1

所以a

又i?i=1，j

所以a?

（2）因为a?b=|

【典题1】已知向量a=(2,-3),b=(m,1)(m0)

解析∵a+2

∴a

a-

∵|a

∴4m2+8m+5=m

∴b

∴a

【典题2】已知a=(1,1)，b=(0,-2)，且ka-

解析∵|k

又(k

而ka-b

∴cos120°

化简整理，得k2+2k

【巩固练习】

1.(★)设向量a=(1,1)，b=(3,-2)，则3

A．(-3,7) B．(0,7) C