数学物理方法(第3版)课件：无界区域的定解问题.pptx

无界区域的定解问题

本章从偏微分方程分类引入了偏微分方程的特征变换，利用特征变换导出了解柯西问题的行波法。

接着给出了一般非齐次方程的齐次化原理，并介绍了如何用齐次化原理解无界区域和有界区域的定解问题。

然后用球平均函数法详细讨论了三维齐次波动方程和非齐次波动方程的解法，相信这些对读者学习电磁场和电磁波理论大有益处。

最后，介绍了如何用傅里叶变换和拉氏变换求解无界和半无界区域的定解问题。;

无界区域的定解问题

§8.1二阶偏微分方程分类及其在数理方法中的应用§8.2用行波法求解定解问题§8.3用齐次化原理求解非齐次方程§8.4齐次高维波动方程的柯西问题§8.5非齐次高维波动方程的求解§8.6用积分变换法求解偏微分方程;

§8.1.1二阶两变量线性偏微分方程的分类

§8.1.2二阶多变量线性偏微分方程的分类§8.1.3偏微分方程分类在数理方法中的应用;

8.1.1二阶两变量线性偏微分方程的分类

重点讨论两变量二阶线性偏微分方程的分类。从分类的过程中引出特征线的概念，利用特征线可以简化一些方程的求解。

二阶线性偏微分方程的一般形式是

a11(x,y)+2a12(x,y)+a22(x,y)+b1(x,y);

8.1.1二阶两变量线性偏微分方程的分类

若变换(8.1-2)的雅可比行列式不为零，它们的逆变换在所讨论;

A12=a11毛x.+a12毛x.+.+a22.

A22=a11))|+2a12.+a22

B=a?毛+2a?毛+a?毛+b?毛+b?毛

B=a?+2a?+a?+b?n+b?n

C=c

F=f;

8.1.1二阶两变量线性偏微分方程的分类

要让化简后的方程(8.1-4)中的二阶项尽可能少，从式(8.1-5)中可以看到，若毛(x,y)和n(x,y)选择恰当，有;

|(a11毛x+2a12毛x.+a22=0a11+2a12.+a22=0

式(8.1-8)可以统一用一阶偏微分方程表示为

a11))|+2a12.+a22=0;

特征线定理8.1设一阶偏微??方程是

a11))|+2a12.+a22))|=0

那么W(x,y)=c(常数)是常微分方程

a11(|dy)|一2a12(|dy)|+a22=0

的解。;

将上式代入偏微分方程(8.1-9)中，可以得到

a11))|-2a12))|+a22=0

由于(|?W)|士0，所以有(8.1-10)式成立。从上式反推回去可

以得到W(x,y)=c成立，这就证明了必要性。[证毕];

8.1.1二阶两变量线性偏微分方程的分类

定理8.1中的式(8.1-10)称为二阶线性二变量偏微分方程的特征方程。

下面来考虑分类问题。对式(8.1-10)因式分解，可以得到;

(1)若a122a11a220，从方程(8.1-13)中可以解出两族实特征线，这时方程(8.1-1)是双曲型方程；

(2)若a122a11a22=0，从方程(8.1-13)中可以解出一族实特征线，这时方程(8.1-1)是抛物型方程；

(3)若a122a11a220，方程(8.1-13)无实值解，这时方程(8.1-1)