数学物理方法(第3版)课件：用分离变量法求解偏微分方程.pptx

用分离变量法求解偏微分方程

偏微分方程的求解是数学物理方法的重要内容之一。

作为有关偏微分方程内容的首章，本章中引入了偏微分方程的初步概念和基本知识；分析了几个典型的用叠加定理和特征函数展开法求解非齐次定解问题。

本章的内容是偏微分方程解法的基本内容，是学好以后各章的基础。;

用分离变量法求解偏微分方程

§4.1数学物理方程的导出

§4.2定解问题的基本概念§4.3直角坐标系下的分离变量法§4.4直角坐标系下的第三类边值问题与广义傅里叶级数§4.5拉普拉斯方程的定解问题§4.6特征函数展开法解齐次边界条件的定解问题§4.7非齐次边界条件的处理;

4.1数学物理方程的导出

工程问题的求解有三个步骤：

首先应用物理学、化学知识将物理问题归纳为数学模型，导出与之相适应的偏微分方程，或者方程组；

其次是给出物理模型在具体发生的空间与时间内的约束条件，数学上就是偏微分方程的边界条件和初始条件，使反映某一类现象普遍规律的方程能适应特定的具体情况；

最后，求解得到的方程或方程组，证明解的合理性并且做出物理解释。;

4.1数学物理方程的导出

例4.1一根质量均匀长为l的弦，两端固定在x轴上，弦恰好在无任何形变状态，然后在弦上加一个力，使弦上各质量点产生一个速度分布，各点的速度都是v0，立即取消作用力

后，弦开始振动。若振动始终在弹性限度内，且弦上各点只沿垂直于x轴方向振动，称弦做横振动。求：

(1)不考虑质量的轻弦和有质量的重弦的横振动问题；

(2)若用一个刚性偏平小槌打击上任一点x0处，然后立即停止槌击，弦上只有x0处有一个速度v0，求轻弦的横振动问题。;

解(1)在题设的条件下，弦上各点在张力T和重力mg的合

力作用下做纵向加速运动。设弦的质量的密度为p，振动时产生的纵向位移为u，取一个微元弦s，它的受力如图4.1所示。在振动中，弦的纵向位移遵守牛顿第二定律，微元弦的质量m=pgs，;

4.1数学物理方程的导出

m的加速度a=，???据牛顿第二定律F=ma,可以写出弦

的运动方程是

TsinTsinpgs=ps(1)

现在求解张力T，微元s和sin的表达式。由于弦只做纵向加速运动，沿x方向没有加速运动，所以有

TcosTcos=0

又因为弦振动位移很小，则有=0，cos=cos=1。因此得到;

4.1数学物理方程的导出

在a为小量时，根据三角函数和弧微元的关系，可以写出

sina=~tana=(3)

sina，~tana，编x,t)(4)

编s=编x~编x(5)

式(2)，(3)，(4)和(5)代入式(1)后，可以得到

「?u(x+dx,t)?u(x,t)]?2u(x,t)

T|L?x-?x」|-pg编x=p编x?t2(6);

4.1数学物理方程的导出

因为;

4.1数学物理方程的导出

式子(4.1-1)是一个由偏导数组成的方程，偏导数的最高阶数为二阶，所以称为二阶偏微分方程。它反映了在t0时，0xl区域内弦的横振动规律，称为弦振动方程。方程右边的g反映了外界的作用力影响。设重力G=mg,则有

g=G，所以g是单位质量受重力的大小，对于质量不计的轻

m

弦，弦不受重力作用，单位质量所受的重力为零，因此g=0。

这样，轻弦的振动方程是;

4.1数学物理方程的导出

式(4.1-1)和(4.1-2)只反映了t0,0xl的弦振动规律，

但是弦在振动过程中的位移会受到边界的约束，因此两式都不能完全反映某一个