数学物理方法(第3版)课件：柱面坐标中的偏微分方程解法.pptx

柱面坐标中的偏微分方程解法

本章的重点内容是傅里叶-贝塞尔级数的展开和边值问题，因此对函数如何在三类边值条件下展开，以及求方程的特征值问题既作了理论分析又给出了近似计算的例子，并对霍姆维兹方程产生的二重傅里叶-贝塞尔级数作了简要介绍；也对特征值小于零的变形贝塞尔方程及修正的贝塞尔函数和诺依曼函数作了分析和讨论。最后，回顾了汉克尔函数、开尔芬函数、球贝塞尔函数等几类贝塞尔函数及其来源。;

柱面坐标中的偏微分方程解法

§6.1贝塞尔方程的解与贝塞尔函数

§6.2贝塞尔函数的递推公式

§6.3贝塞尔函数的性质

§6.4傅立叶－贝塞尔级数

§6.5柱坐标下的边值问题

§6.6虚宗量贝塞尔函数

§6.7其他类型的贝塞尔函数;

§6.1.1第一类和第二类贝塞尔函数

§6.1.2整数阶诺依曼函数;

x2y,+xy,+(x2-n2)y=0

设式(6.1-1)的解是y(x)=xakxk+p

=0

将式(6.1-2)代入(6.1-1)，得到

[(k+p)2-n2]akxk+p+akxk+p+2=0

k=0k=0

令k+2=k代入到上式中的第二项，有;

6.1.1第一类和第二类贝塞尔函数

[(k+p)2-n2]akxk+p+ak-2xk+p=0

k=0k=2

(p2-n2)a0xp+[(1+p)2-n2]a1xp+1+恳[(k+p)2-n2]ak+ak-2}xk+p=0

=2;

6.1.1第一类和第二类贝塞尔函数

由指标方程可以解出p1=n,p2=n。方程(6.1-1)至少有一个弗罗贝尼乌斯级数解，设这个解的指标根为n0，将其代入式(6.1-5)后得到

(2n+1)a1=0

上式中2n+10，所以有a1=0。

由式(6.1-6)，可推出ak的递推公式为

ak=kk),(k=2,3,…)

递推得到：;

a2=2(2n+2)a0=22(n+1)

a4=4(2n+4)=23(n+2)=24(n+1)(n+2)2!

a6=26(n+1)(n+2)(n+3)3!

：

(1)a0

a2k=22k(n+1)(n+2)…(n+k)k!;

上面表格的左边应是一般项，有

(1)k a2k=22k(n+1)(n+2)…(n+k)k!a0

式中a0是任意常数。由于

(p)=j0exxp1dx (k+1)=k!;

在级数表达式(6.1-2)中a2k+1=0，所以式(6.1-11)代入后，

得到解是

y1(x)=22k+nk1(x

记y1(x)=Jn(x)，得到;

6.1.1第一类和第二类贝塞尔函数

式(6.1-12)一般情况下不能写成初等函数形式，它被称为第一类贝塞尔函数。

(6.1-1)的另一个解要由指标根p1一p2=2n来决定。

根据n取值为实数可知，2n有正整数和非正整数两种情况：

(1)2n不是正整数，即n丰m,(m=1,2,…)，这时n丰,1,,…。根据定理5.2，方程(6.1-1)有两个弗罗贝尼乌斯级数解。将一n代入方程(6.1-1)，递推后求出另一个解是;

6.1.1第一类和第二类贝塞尔函数

注意到x0时，J-n(x)是无界的，因此J-n(x)在x=0邻域内是一个无界的解，

而此时Jn(x)0，所以可判定在x=0的邻域内Jn(x)与J-n(x)线性无关，这也说明n不是整数时，Jn(x)与J-n(x)是贝塞尔方程的两个线性无关解。

另外，若将(6.1-13)中-n换成n，则得到式(6.1-12)的Jn(x)，这两个表达式在形式上完全相同，故可统一地用式(6.1-12)来表示Jn(x)