专题2-1 复数的概念与四则运算17类题型（原卷版） .docx

专题2-1复数的概念与四则运算17类题型

TOC\o1-3\n\h\z\u知识点梳理

题型一复数的分类与辨析

题型二复数的相等

题型三复数的几何意义：复平面

题型四共轭复数

题型五复数的模的计算

题型六复数的模与圆

题型七复数的加、减运算

题型八复数加、减法的几何意义的应用

题型九复数的混合运算

题型十待定系数法求复数

题型十一复数运算与找规律

题型十二根据复数的四则运算结果求参数

题型十三根据复数的四则运算结果求复数特征

题型十四复数范围内分解因式

题型十五复数范围内方程的根

题型十六欧拉公式

题型十七辐角问题

知识点梳理

1．复数加法与减法的运算法则

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则

①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．

(2)对任意z1，z2，z3∈C，有

①z1＋z2＝z2＋z1；

②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

2．复数加减法的几何意义

如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为eq\o(OZ,\s\up14(→))1，eq\o(OZ,\s\up14(→))2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq\o(OZ,\s\up14(→))与复数z1＋z2对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up14(→))与复数z1－z2对应．

3．规律方法

1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧

(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．

(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

2．常见结论

在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．

3．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．

4．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．

5．|z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆．

4．复数乘除运算的常用技巧

(1)复数常见运算小结论

①；

②；

③；

④；

⑤．

(2)常用公式

；

；

．

5．复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程＋bx＋c＝0(a≠0，且a，b，c∈R)，则当＞0时，方程有两个不相等的实根

，＝；

当＝0时，方程有两个相等的实根＝＝－；

当＜0时，方程有两个虚根＝，＝，且两个虚数根互为共轭复数．

题型一复数的分类与辨析

【例题讲解】

下列关于复数x+i的说法一定正确的是（

A．是虚数 B．存在x使得x+

C．不是实数 D．实部和虚部均为1

如果复数z=m+3+(m-3)i是纯虚数,

A．m≠3 B．m=3 C．m=-3

【巩固练习】

若复数是纯虚数，则实数的值是.

对于复数z=a+

A．若a=0，则a

B．若a-bi=3+2i

C．若b=0，则a

D．若a=b=0

已知复数是纯虚数，则实数．

【答案】

【分析】由复数除法运算可化简得到复数，由纯虚数定义可构造方程求得.

【详解】，

又为纯虚数，，解得：.

题型二复数的相等

【例题讲解】

设a(1+i)+b=-i，其中

A．a=-1,b=-1 B．a=-1,b=1

【巩固练习】

若xi-2i2=y+2

A．-2+i B．4+2i C．1-2

下列命题：①若a+bi=0，则a=b=0；②x+yi=2+2i?x

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

题型三复数的几何意义：复平面

【例题讲解】

复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（????）

A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数

【巩固练习】

已知z=1+im+

A．-3,1 B．

C．1,+∞ D．-∞

若复数z满足，则在复平面内对应的点在第（????）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

题型四共轭复数

【例题讲解】

已知复数z在复平面内对应的点的坐标为-1,2，则z

A．-1+2i B．1+2i C．1-2

【巩固练习】

已知（，，i为虚数单位），复数，则（????）

A．2 B． C． D．

复数z=3+2i1-i，在复平面内z

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第