专题05 函数基本性质的综合运用(解析版).docx

专题05函数基本性质的综合运用

一、单选题

1．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【解析】由于函数在上是增函数，

因为函数为减函数，则函数在区间上为减函数，

所以，得，当时，有，得，

因此实数的取值范围是．故选：A.

2．已知.若是以2为最小正周期的周期函数，则（????）

A．2 B．1 C． D．

【解析】因为是以2为最小正周期的周期函数，所以

，

所以，解得.故选:B

3．若函数是定义在上的偶函数，则（????）

A． B．3 C． D．51

【解析】由题意，定义域关于原点对称，则，解得，

则，又是偶函数，

则，即，解得，

则，，则.故选：B.

4．设，，，则（????）

A． B．

C． D．

【解析】令，，

∴，

∴在上单调递增，，∴；

令，，，

设，，则，即单调递减，∴

∴，即在单调递减，故，∴，∴.故选：A.

5．已知函数是R上的偶函数，，当时，，则（????）

A．的图象关于直线对称 B．4是的一个周期

C． D．

【解析】函数是R上的偶函数,，

当时，有，当时，，故为奇函数，

对于A：，，

从而，

，

即的图象关于直线对称，A正确；

对于B：，

即，，

，是以为周期的函数，

若周期为4，则，但，故B错误；

对于C：，C错误；

对于D：当时，均为单调递增函数，在上单调递增，又为奇函数，在上单调递增，

又，，D错误.

故选：A.

6．已知定义域为的奇函数，满足，记，下列对函数的描述错误的是（????）

A．图象关于直线对称 B．

C． D．

【解析】定义域为的奇函数，则且，

又，即，所以，

即，所以，

又，所以，故B正确，

又，

所以，则是以为周期的周期函数，

则，故C错误，D正确；

又，

所以的图象关于直线对称，故A正确；

故选：C

7．已知函数，若不等式恒成立，则实数a的最大值为（????）

A． B．2 C． D．4

【解析】由题，，

当时，恒成立，；

当或时，，，所以．

所以在R上单调递增．又，

所以由恒成立，可得恒成立，

即恒成立，故，得，所以a的最大值为．故选：C.

8．已知函数是偶函数，当时，，则不等式的解集是（????）

A． B．

C． D．

【解析】根据题意，作偶函数的图象，如下图示.

??

由，不等式可化为，则，

所以或，由图知：或或或.

所以不等式解集为.故选：D

二、多选题

9．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（????）

A． B．

C．为奇函数 D．为上的减函数

【解析】对于A，由题可知，故，故A正确；

对于B，由题可知，，故B错误；

对于C，，故，为奇函数，故C正确；

对于D，当时，，

，

是上的减函数，故D正确.故选：ACD

10．已知定义在上的函数满足，，，且为奇函数，则（????）

A．为奇函数

B．为偶函数

C．是周期为3的周期函数

D．

【解析】因为，所以，

即，所以是周期为3的周期函数，C正确；

因为为奇函数，所以，

以替换可得，

又因为周期为3且，

所以，所以为偶函数，所以B正确，A错误；

对于D：因为，令，则，

因为为奇函数，所以，

所以关于点中心对称，

所以，所以，

因为是周期为3的周期函数，所以，

所以，

所以，

D错误，

故选：BC

11．设函数若有四个实数根，且，则的值不可以是（????）

A． B． C．3 D．

【解析】由分段函数知，当时，，且单调递减；

当时，，且单调递增；当时，，且单调递减；

当时，，且单调递增.的图象如图所示.

??

有四个实数根，且.

由图知，当时，有四个实数根，且.

又，由对数函数的性质知，可得.

设，且.由在上单调递增，

可知，所以.故选：ACD.

12．定义在的函数满足，且当时，，则（????）

A．是奇函数 B．在上单调递减

C． D．

【解析】对于选项A：因为，

令，，可得，

令，则，可得，

所以为奇函数，故A正确；

对于选项B：令，则，可得，

且，即，

可得，

则，即，

所以在内单调递增，故B错误；

对于选项CD：令，，则，

所以，故C正确；

所以，D错误，

故选：AC.

三、填空题

13．已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为．

【解析】令得，

令，得，则为奇函数，

设，则，

因为当时，，所以，则，

所以在R上单调递增．由，得，

所以．可化为，所以，

解得．故答案为：

14．设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则.

【解析】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，

则，，

所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，

所以，，，

所以，，则，

所以，函数是周期为的周期函数，

当时，，则，，，

，，，

，，

所以，，

又因为，所以，.

15．已知为实数，为偶函数