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河南省南阳市2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量评估数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．直线的倾斜角为（???）

A． B． C． D．不存在

2．若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（???）

A． B． C． D．8

3．已知圆圆则两圆的公切线条数为（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

4．已知事件A，B互斥，，且，则（???）

A． B． C． D．

5．一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（????）

A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂

C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂

6．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（???）

A． B． C． D．

7．用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4也相邻的概率为（???）

A． B． C． D．

8．已知分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．关于的展开式，下列说法中正确的是（???）

A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等

C．常数项为15 D．有理项共有4项

10．某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（????）

A． B． C． D．

11．如图，在棱长为4的正方体中，O为和的交点，点在线段CD上，，E，F分别为棱和的中点，则下列选项正确的是（???）

A．若点P是线段上一动点，则直线平面

B．若点Q是平面内一点，且满足，则点Q的轨迹是抛物线

C．若点M为平面内一点，且满足，则OM的最小值为

D．过线段BD且垂直于平面的截面图形为等腰梯形

三、填空题

12．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率为．

13．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为.

14．甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.

四、解答题

15．直线l经过两直线和的交点．

(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；

(2)若直线l与圆相切，求直线l的方程．

16．已知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且，F为BE的中点．

(1)求点B到平面ADF的距离；

(2)求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的正弦值．

17．甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．

(1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率；

(2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望．

18．在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E．

(1)求曲线E的方程；

(2)设过点且互相垂直的两条直线分别与曲线E交于点M，N（异于点A），求证：直线MN过定点．

19．在的展开式中，把，，，，叫做三项式系数．

(1)当时，写出三项式系数，，的值；

(2)类比二项式系数性质，探究，，，的等量关系，并给出证明；

(3)求的值．

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