闸北高中冲刺补习班--高二新王牌向量的数量积.docVIP

第3讲平面向量的数量积

一、知识点讲解：：

1．两个非零向量夹角的概念

非零向量与，作＝，＝，那么∠AＯB＝θ〔０≤θ≤π〕叫与的夹角.

注：向量与向量都是非零向量且要同起点。

2．平面向量数量积〔内积〕的定义：两个非零向量与，它们的夹角是θ，那么叫与的数量积，记作?，即有

注：

〔０≤θ≤π〕.并规定与任何向量的数量积为0

两个向量的数量积的性质：

设、为两个非零向量，是与同向的单位向量

?=?=||cos?；

???=0

当与同向时，?=||||；当与反向时，?=?||||

特别的?=||2或

cos?=；

|?|≤||||

3．“投影”的概念：如图

定义：叫做向量在方向上的投影

注：

投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当?=0?时投影为||；当?=180?时投影为?||

4．平面向量数量积的运算律

交换律：

数乘结合律：

分配律：

注：向量的数量积是不满足结合律的

5．平面两向量数量积的坐标表示

两个非零向量，，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，，所以

6.平面内两点间的距离公式

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，

那么

7.向量垂直的判定：设，，那么

8.两向量夹角的余弦〔〕

二、典例剖析：

题型1.求数量积、求模、求夹角

例1、，，与的夹角为，求：

(1)、；(2)、；(3)、；(4)、

例2、，，且与垂直，求与的夹角.

【练习】

1、向量，，那么向量与的夹角为〔〕

A． B． C． D．

2、在中，，,分别为三个内角，，所对的边，假设向量与的夹角为，求角B的大小；

题型2.利用数量积解决垂直问题

例3、假设非零向量、满足，证明:

例4、在中，，，且的一个内角为直角，求k值

【练习】

1、向量，，假设，那么〔〕

A．B．C．D．

2、为的三个内角的对边，向量，．假设，且，那么角的大小分别为〔〕

A． B．C． D．

题型3.求夹角范围〔利用数量积处理夹角的范围〕

例5、,且关于的方程有实根,那么与的夹角的取值范围是()

A.[0,]B.C.D.

【练习】

1．设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围.

2．，,如果与的夹角为锐角,那么的取值范围是

三、稳固训练

1、内有一点，满足，且.那么一

定是〔〕

A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

2、在中，向量，那么为〔〕

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

3、向量，，其中.假设，那么当恒成立时实数的取值范围是 〔〕

A．或 B．或

C． D．

4、在中，，,分别为三个内角，，所对的边，设向量，.假设,那么角的大小为〔〕

A.B.C.D.

5、假设向量与不共线，，且=，那么向量与的夹角为;

6、设，两个向量，，那么向量长度的最大值是;

7、设向量与的夹角为，，，那么．

8、是所在平面上一点，假设，那么是的．

9、在中，为中线上的一个动点，假设，那么的最小值为

.

10、设平面上向量，与不共线，

(1)、证明向量与垂直.

(2)、当两个向量与的模相等，求角．

11、在中，．

(1)求边的长度；

(2)证明：；

〔3〕假设,求．

四、平面向量与三角函数、函数、不等式等知识的综合应用

例1、为的内角A、B、C的对边，，，且与的夹角为，求C；

例2、、、是直线上的不同的三点，是外一点，向量满足,记.求函数的解析式；

例3、开口向上的二次函数，对任意，恒有成立，设向量，，求不等式的解集.

五、综合拔高训练

1、为的内角A、B、C的对边，向量，，.求角的大小；

2、A、B、C三点