高中数学《直线与直线垂直》教学课件(2).ppt

8.6空间直线、平面的垂直

与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用.类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质.

8.6.1直线与直线垂直

一、探究新知空间两条直线的位置关系有三种:平行直线、相交直线和异面直线.在初中我们已经研究了平行直线和相交直线.本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系.如图8.6-1,在正方体ABCD-ABCD中，直线AC与直线AB，直线AD与直线AB都是异面直线，直线AC与AD相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢?DBCADCBA我们知道，平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.

二、异面直线所成角研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题.如下图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O分别作直线a//a，b//b，我们把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).αababO如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.当两条直线a、b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗?无关异面直线所成的角的范围为(0,]

三、典型例题例1如右图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？(2)求直线BA1与CC1所成角的大小.(3)求直线BA1与AC所成角的大小.解：(1)棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1所在直线与直线AA1垂直.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为CC1∥BB1，(2)所以∠B1BA为直线BA1与CC1所成的角.而∠B1BA=45°，于是直线BA1与B1C的夹角是45°.(3)连接A1C1、BC1.则∠BA1C1为直线BA1与AC所成的角.从而直线BA1与AC所成的角等于60°.而△A1BC1是等边三角形，DBCAD1C1B1A1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC//A1C1，所以∠BA1C1=60°，

三、典型例题例2如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1为底面A1B1C1D1的中心,求证:AO1⊥BD.证明：DBCAD1C1B1A1O1连接B1D1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴BB1DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形.∴B1D1//BD.∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角.连接AB1、AD1，又O1为底面A1B1C1D1的中心,∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥BD.∴AO1⊥B1D1.易证AB1=AD1.

例3如右图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1=2.求直线A1C与B1A所成角的余弦值.E解：连接A1B，交AB1于E.由棱柱的概念得四边形BAA1B1是平行四边形，所以E为BA1的中点.作BC的中点D，连接DE、DA，所以DE∥A1C.三、典型例题B1C1A1BCA则∠AED为直线A1C与B1A所成的角.由BC=CC1=2得A1C=B1A=所以ED=EA=又DA=在△AED中由余弦定理得cos∠AED=所以直线A1C与B1A所成角的余弦值为.D你能平移AB1来解此题吗？

四、课堂小结两条异面直线a、b，经过空间任一点O分别作直线a//a，b//b，我们把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.当两条直线a、b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.1.异面直线所成的角：异面直线所成的角是通过平移把异面直线转化为相交直线.2.异面直线互相垂直：3.求两条异面直线所成角的步骤：选点→平移→定角→计算选点常取在两条异面直线中的一条上.平移常常利用三角形的中位线、平行四边形.这样，异面直线所成的角的范围为(0,]2π

五、巩固提升课堂练习:第148页练习第1、2、3、4题课堂作业:第162页习题8.6第4、11、12、19题