预习篇 第18讲 空间中异面直线所成角、线面角和二面角 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019） （解析版）.docx

第18讲空间中异面直线所成角、线面角和二面角

本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！

1异面直线所成的角

①范围

θ∈(0

②作异面直线所成的角：平移法.

在空间任取一点O，过O作a//a,b//b，则a,

2线面所成的角

①定义

如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

一条直线垂直平面，则θ=90°

②范围

直线和平面所成的角θ的取值范围是0°

3二面角

(1)定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-

在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角

(2)范围

二面角的平面角α的取值范围是[0

【题型1】异面直线所成角

【知识点解读】

1范围

θ∈(0

2作异面直线所成的角：平移法.

如图，在空间任取一点O，过O作a//a,b//b，则a,

【例】在正方体ABCD-ABCD

解连接AB，交AB

∵AB||CD，∴直线C

直线CD与直线A

【典题1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为

A.π2B.π3C.

解析∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为

【巩固练习】

1.(★★)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=2

A．55 B．5 C．306 D

答案A

解析连接CE，如图所示：

因为A1E=

所以EC∥

故∠BEC是异面直线A

因为BC=2，AB

所以B1

由勾股定理，得BE=

在△BEC中，∠

∴tan

故选：A．

2.(★★)如图，空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥

∴∠MPN或其补角即异面直线AC与

∴∠

∴MN

故选:C

3.(★★★)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，

A．1010 B．1040 C．12

答案A

解析如图，取CC1的中点F，连接EF，则EF∥

则∠AEF(或其补角)为直线AE与直线B

∵正方体的棱长为2，

连接AC，则AF=

∴在△AEF

∴直线AE与直线BC1所成角的余弦值为

故选：A．

4.(★★★)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，异面直线AD

答案π

解析连结BC1，则

所以异面直线AD1和

所以θ的最小值为BC1与平面

设CD1，C1D的交点为

所以sin?∠

因为∠OBC1为锐角，所以∠OBC

当点M与点A1重合时，直线BC1与BM所成的角为∠

所以θ的取值范围是π6

【题型2】线面所成的角

【知识点解读】

1定义

如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

一条直线垂直平面，则θ=90°

2范围

直线和平面所成的角θ的取值范围是0°

【例】在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，求直线

解∵DD⊥平面AB

∵AB⊥平面AD

其余弦值cos∠

【典题1】如图已知∠AOB=∠AOC=60°在平面内，OA是平面的斜线，且OA=OB=OC=1，

解析取线段BC的中点D，连接AD，

因∠AOB

则△AOB

即有AB=AC=1

因此，AD⊥

而OB2+OC

则OD2+AD

而OD∩BC=

于是得AD⊥平面OBC，∠AOD是直线

又AD=OD，则

所以直线OA与平面α所成的角的大小为45°．

故答案为：45°．

【典题2】如图，在三棱维P-ABC中，∠ACB

(1)平面PAC⊥平面PBC

(2)若AC=BC=PA=2

解析(1)证明：∵PA⊥底面ABC，

∵∠ACB

∵PA∩AC

又BC?平面PBC，∴平面PAC

(2)取PC中点D，连接AD，

∵AC

由(1)平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面

∴AD⊥平面

连接，则∠AMD就是与平面PBC所成角，

∵AC

PB=

∴sin

∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为63

【巩固练习】

1.(★★)如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1

A．32 B．64 C．104

答案B

解析如图，取B