高考数学（文）高分计划一轮高分讲义第2章函数导数及其应用26　对数与对数函数.docx

2．6对数与对数函数

[知识梳理]

1．对数

2．对数函数的概念、图象与性质

3．反函数

概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．

4．对数函数与指数函数的关系

指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数．

(1)对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，而对数函数的函数值y恰好是指数函数的自变量x，即二者的定义域和值域互换．

(2)由两函数的图象关于直线y＝x对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致．

特别提示：底数a对函数y＝logax(a0且a≠1)的图象的影响

(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，对数函数的图象“上升”；当0a1时，对数函数的图象“下降”．

(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a1还是0a1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．

(3)作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系．

[诊断自测]

1．概念思辨

(1)若logaM2＝logaN2，则M＝N；若M＝N，则logaM2＝logaN2.()

(2)当x1时，若logaxlogbx，则ab.()

(3)函数f(x)＝lgeq\f(x－2,x＋2)与g(x)＝lg(x－2)－lg(x＋2)是同一个函数．()

(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).()

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

2．教材衍化

(1)(必修A1P72例8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()

A．cba B．bca

C．acb D．abc

答案D

解析解法一：由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32log52log72，所以abc.故选D.

解法二：由对数运算法则得a＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，∵log27log25log230，∴eq\f(1,log27)eq\f(1,log25)eq\f(1,log23)，即log72log52log32，故abc.故选D.

(2)(必修A1P75T11)(lg5)2＋lg2·lg50＝________.

答案1

解析原式＝(lg5)2＋lg2·[lg(2×52)]

＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2

＝(lg5＋lg2)2＝1.

3．小题热身

(1)(2017·衡阳八中一模)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x?x≤0?，,log3x?x0?，))则feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))＝()

A．－2 B．－3

C．9 D．－9

答案C

解析∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x?x≤0?，,log3x?x0?，))

∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝log3eq\f(1,9)＝－2，∴feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))＝f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝9.故选C.

(2)(2018·郑州模拟)已知lga＋lgb＝0(a0且a≠1，b0且b≠1)，则f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是()

答案B

解析∵lga＋lgb＝0，∴a＝eq\f(1,b)，又g(x)＝－logbx＝logeq\s\do8(eq\f(1,b))x＝logax(x0)，∴函数f(x)与g(x)的单调性相同．故选B.

题型1对数的运算

eq\o(\s\do1(典例1))(2017·郑州二检)若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为()

A．36 B．72

C．108 D.eq