数学物理方法(第3版)课件：球面坐标中的偏微分方程解法.pptx

球面坐标中的偏微分方程解法

本章讨论另一类非常重要的偏微分方程解法：球坐标中的偏微分方程分离变量法。

首先，我们求解了勒让德方程的两个线性无关解，从中导出勒让德多项式和第二类勒让德函数。接着引入罗德利克公式和博内公式计算勒让德多项式，重点讨论了如何把函数展开了傅里叶-勒让德级数和球对称定解问题的解法。最后简要地介绍了连带勒让德多项式和球谐函数。;

球面坐标中的偏微分方程解法

§7.1勒让德方程与勒让德多项式

§7.2勒让德函数的性质及递推公式

§7.3傅里叶—勒让德级数

§7.4勒让德多项式的边值问题

§7.5连带勒让德多项式及应用;

§7.1.1勒让德方程的求解

§7.1.2勒让德多项式;

2a2+n(n+1)a0+3.2a3x+(n一1)(n+2)a1x+

[(k+2)(k+1)ak+2+(n一k)(k+n+1)ak]xk=0

k=2;

2a2+n(n+1)a0=0

3.2.a3+(n1)(n+2)a1=0

(k+2)(k+1)ak+2+(nk)(k+n+1)ak=0

式(7.1-4)、(7.1-5)和(7.1-6)的递推结果是

n(n+1)

22!0

a=(1)2n(n2)(n+1)(n+3)a;

7.1.1勒让德方程的求解

：

a2k=2k.(2k1)a2k2

=(1)k2k)n(n+1)(n+3)…(n+2k1)(7.1-7)

(n1)(n+2)

33!1

a=(1)2(n1)(n3)(n+2)(n+4);

(n-2k+1)(n+2k)

a2k+1=-(2k+1)(2k)a2k-1

=(-1)(7.1-8)

式中的a0和a1是两个任意常数。

级数解可以写成一个偶数项之和与一个奇数项之和，有;

y(x)=a2kx2k+a2k+1x2k+1

k=0k=0

=a01+(-1)!1)(n+3)…(n+2k-1)x2k

+a1(-1)k(n-2k+1)…(n-3)(n(2n1)2)(n+4)…(n+2k)x2k+1(7.1-9)

令

y0(x)=1+(-1)kx2k

(7.1-10);

式中a0与a1是两个任意常数。称y0(x)和y1(x)是勒让德函数。

y0(x)和y1(x)是不是方程(7.1-1)的解？这包括两个问题：

首先是y1和y2是否线性独立；;

7.1.1勒让德方程的求解

先回答第一个问题。在x0时，有

y0(x)=1+o(x2k)

y1(x)=x+o(x2k)

上两式表明y0(x)和y1(x)是两个线性无关解。

收敛性问题讨论：

(1)把式(7.1-1)写成定理5.1的标准形式(5.2-2)后，有p(x)=，q(x)=，

根据定理5.1可知，级数解的收敛半径应当是展开点到p(x)和q(x)最近奇点之间的距离，即x1内