专题1-1 向量的概念及线性运算九大题型（解析版）.docx

专题1-1向量的概念及线性运算九大题型

TOC\o1-4\n\h\z\u知识点梳理

一、向量的概念

二、向量的线性运算

三、向量共线定理

四、常见模型补充：向量中的定比分点恒等式（爪型图）

题型一向量的相关概念辨析

题型二在几何图形中识别相等向量或共线向量问题

题型三平面向量的加法、减法、数乘运算

题型四用已知向量表示其他向量

题型五由平面向量的性质判断图形的形状

题型六平面向量共线定理

题型七向量共线证明三点共线

题型八利用向量共线求参数

题型九平面向量共线定理的推论（提高篇）

【1】利用系数和为“1”快速求参数

【2】向量写2次，结合系数和为“1”求参数

【3】系数和为定值问题以及结合基本不等式求最值

知识点梳理

力、位移、速度等有各自的特性,而“既有大小,又有方向”是它们的共同属性。我们知道,从一支笔、一棵树、一本书……中,可以抽象出只有大小的数量“1”。类似地,我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象,形成一种新的量.

一、向量的概念

(1)向量与数量的概念

在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫作向量,而把只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量.

(2)向量与数量的区别

数量是一个代数量,可以比较大小,物理学中称为标量;向量不能比较大小,物理学中称为矢量.

1、向量的模：向量的大小叫向量的模

向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模),记作|

模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．

2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作或0，它的方向是任意的．

3、单位向量：长度等于1个单位的向量.

将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．

4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.

5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。

如果向量a与b平行,那么可记作a//b，规定：与任一向量共线

【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．

4、若两向量共线,则两向量所在的直线有平行和重合两种可能

5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”,要特别注意

6、向量相等具有传递性,即若a=b,b=c,则a=c。而向量的平行不具有传递性,即若a//b,b//c,未必有a//c。因为零向量平行于任意向量,

二、向量的线性运算

1.求两个向量和的运算,叫作向量的加法

(1)对于零向量与任意向量a,我们规定0+a=a+0=

(2)向量加法的三角形法则

使用三角形法则特别要注意“首尾相接”,如设a=AB,b

(3)向量加法的平行四边形法则

如图,以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作□OACB,则以O为起点的向量OC(OC是□OACB的对角线)就是向量

2.向量的减法运算

(1)相反向量

我们规定,与向量a长度相等,方向相反的向量,叫作a的相反向量,记作-a。零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有:(1)-(-a)=a;(2)a+(-a)=(-a

(2)向量的减法

向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-

(3)向量减法的作图法

因为(a-b)+b=a+[(-b)+b]=a+0=a,所以求a-b就是求这样一个向量,使它与b的和等于a,从而得出a-

向量减法的三角形法则记忆口诀:共起点,连终点,指向被减。

3.向量的数乘运算

向量数乘的定义

(1)一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下

当λ0时,λa的方向与a

当λ0时,λa的方向与a

当λ=0时,

(2)关于对实数与向量的积λa的理解:我们可以把向量a的长度扩大(当|λ|1时)，也可以缩小(当|λ|1时)，同时,我们可以不改变向量a的方向(当λ0时),也可以改变向量a的方向

(3)实数与向量的积的特殊情况:当λ=0时,λa=0;而λ≠0时,若

(4)实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,比如λ+

实数与向量的积满足的运算律

设λ,μ为实数,那么λ(

(λ+μ

λ(a+b

(2)实数与向量的积也叫作向量的数乘

(3)要清楚向量的数乘与数乘数的区别,前者结果是一个向量,后者结果是一个数,并且前者满足两种分配律,后者只有一种分配律

运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则平行四边形法则

①交换律

②结合律