专题2.3 幂函数与指、对数函数【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docx

专题2.3幂函数与指、对数函数【九大题型】

【新高考专用】

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【题型1指数幂与对数式的化简求值】 2

【题型2指对幂函数的定义与解析式】 4

【题型3指对幂函数的定义域与值域】 5

【题型4指对幂函数的图象的识别与应用】 6

【题型5指对幂函数的单调性问题】 8

【题型6指对幂比较大小】 10

【题型7利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解不等式】 12

【题型8反函数及其应用】 14

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】 16

1、幂函数与指、对数函数

幂函数、指数函数与对数函数是三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

【知识点1幂函数的解题技巧】

1.幂函数的解析式

幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.幂函数的图象与性质

在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

3.比较幂值的大小

在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.

【知识点2指数、对数运算的解题策略】

1.指数幂运算的一般原则

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

2.对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

(3)指对互化：(a0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

【知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】

1．指数函数的常见问题及解题思路

(1)比较指数式的大小

比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；

②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.

(2)指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

(3)指数型函数的解题策略

涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

2．对数函数的常见问题及解题思路

(1)对数函数图象的识别及应用

①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

(2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

【题型1指数幂与对数式的化简求值】

【例1】（2023·山东·校联考模拟预测）若a-1-a1=4，则a-2+a2的值为（????）

A．8 B．16 C．2 D．18

【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.

【解答过程】解：因为a-

所以a-

故选：D．

【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知3a=4b=m,

A．36 B．6 C．6 D．4

【解题思路】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.

【解答过程】∵3

∴a

∴1

∴m2=6，即m

故选：C.

【变式1-2】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）计算：

(1)27

(2)log2

【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；

（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.

【解答过程】（1）2790.5

（2）log23?log34+