数学建模真题分析.ppt

附件1是同时服用3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。问题（1）：利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。分析：问题在于什么是“最佳治疗终止时间”需要了解HIV感染过程，药物治疗目的，由题目：“这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。”第125页,共134页，星期六，2024年，5月如果随机取若干个病人，画出他们CD4和HIV浓度随时间变化的图形（散点图），可以看出多数的CD4大致有先增后减的趋势，HIV大致有先减后增的趋势，这也是符合实际规律的，刚用药的时候效果比较显著，随着用药的时间增加，病毒逐渐有了抗药性，效果变差，所以对于“最佳治疗终止时间”的理解可以是以下三个时刻之一：1.当CD4浓度达到最大值的时候2.当HIV浓度达到最小值的时候3.综合考虑CD4（越大越好）与HIV浓度（越小越好），制定一个数量指标，比如说这个指标越大越好，当这个指标达到最大值的时候第126页,共134页，星期六，2024年，5月解决方案：利用二次函数回归模型，由CD4曲线的最大值点或者HIV曲线的最小值点可以预测继续治疗的效果或确定最佳治疗终止时间。记第i病人第j次测量时间为tij,测量的CD4（或HIV）值为yij,建立回归模型（1）其中b0,b1,b2是回归系数，εij是随机误差，服从零均值、方差?2的正态分布，n是病人数，ni是第i病人的测量次数。如果考虑病人初始状态（t=0时的CD4和HIV）的不同对模型的影响，可以将（1）中的yij定义为第i病人第j次测量的CD4（或HIV）与初始值之差或之比，也可以先按照病人初始状态分类，然后对于每一类建立回归模型。第127页,共134页，星期六，2024年，5月问题（2）：利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。首先进行数据分析，构造决策单元（DMUs），然后构造线性规划模型，并利用其最优解，判断决策单元是否DEA有效。 对1313位患者按年龄分组：如14到25岁,25到35岁,35到45岁,及45岁以上分为4组。在每个年龄组中，按照4种疗法和5个治疗阶段（0到8周，8到16周，16到24周，24到32周,32周到40周），可以得到20个决策单元。取4种药品的数量作为输入，取患者在治疗各个阶段末的CD4与开始治疗时的CD4的比值作为输出。设4种药品在第j单元的数量分别为x1j（齐多夫定），x2j（去羟基苷），x3j（扎西他滨），x4j（奈韦拉平），输出：第128页,共134页，星期六，2024年，5月例如对于年龄14到25岁的病人，其中使用第一种疗法、第一个治疗阶段（0到8周）的病人有n个，对应决策单元设为DMU1因为使用疗法一样，假设这n个病人按时服药，则他们在0到8周的用药量应该相同：每日600mg齐多夫定或400mg去羟基苷，这两种药按月轮换使用,0-8周(一共56天，按照30天1个月，第一个月齐多夫定，第二个月去羟基苷)输入600mg*30齐多夫定，400mg*26去羟基苷即x1j=18000mg,x2j=10400mg,x3j=0,x4j=0而对于每个病人都有一个输出可以把n个病人输出的平均值作为DMU1的输出y1j得到DMU1的输入输出以后就可以评价它的DEA有效性了第129页,共134页，星期六，2024年，5月对决策单元评价有效性之后，对较优的疗法预测继续治疗的效果