培优课　平面向量中的最值、范围问题-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）.pptx

培优课平面向量中的最值、范围问题第六章平面向量及其应用

课标要求1.进一步掌握平面向量线性运算和数量积的计算方法.2.掌握平面向量中最值范围问题的解决方法.

课时精练一、向量线性运算中的最值、范围二、向量数量积的最值、范围三、向量模的最值、范围课堂达标内容索引四、向量夹角的最值、范围

向量线性运算中的最值、范围一

例1因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，

由P，B，C三点共线得，

利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值.思维升华

训练1(－1，0)又因为C，O，D三点共线，

向量数量积的最值、范围二

例2√以BC的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

思维升华解决向量数量积的最值问题，一般是把该数量积转化为关于某一自变量的函数，根据函数的性质以及满足题目条件的自变量的范围，确定函数的值域，从而得到结论.

训练2(－1，3)又cos∠BCD∈(－1，1)，所以1－1×2cos∠BCD＝1－2cos∠BCD∈(－1，3).

向量模的最值、范围三

例3已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则|a－λb|的最小值是√依题意，建立如图所示的坐标系，则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，a－λb＝(2－2λ，1＋λ)，

思维升华求向量模的最值(或范围)的方法利用平面向量数量积的概念和性质，建构关于模长的函数模型，利用三角函数或二次函数求解模长的最值(或范围).

训练32即a2＋|a|·|b|＋b2＝3，变形为|a|·|b|＝(|a|＋|b|)2－3，当且仅当|a|＝|b|时等号成立，解得|a|＋|b|∈(0，2].

向量夹角的最值、范围四

例4已知|a|＝1，向量b满足2|b－a|＝b·a，设a与b的夹角为θ，则cosθ的最小值为________.∵|a|＝1，∴设a＝(1，0)，b＝(x，y)，∴b－a＝(x－1，y)，则x0，∴4(x－1)2＋4y2＝x2，

思维升华将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题，利用函数求最值或范围.

训练4√因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2，

【课堂达标】

√

√A.[2，4] B.[2，3] C.[3，4] D.[1，4]以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则D(0，1)，E(1，0).设F(2，m)(0≤m≤1)，∵0≤m≤1，∴2≤3－m≤3，

A.3 B.4 C.5 D.9√由图可知x，y均为正，且x＋y＝1，

4.已知平面向量a，b，c满足a·b＝b·c＝c·a＝－1，|a|＝1，|b|≥2，若c＝xa＋yb，x，y∈R，则x＋y的取值范围是__________________.设a＝(1，0)，由a·b＝c·a＝－1，可设b＝(－1，m)，c＝(－1，n)，因为|b|2＝1＋m2≥4?m2≥3，又c＝xa＋yb＝(x－y，my)＝(－1，n)，

而b·c＝1＋mn＝－1?mn＝－2，

【课时精练】

√

√∴(1－λ，λ)·(－1，1)≥(λ，－λ)·(λ－1，1－λ)，∴2λ2－4λ＋1≤0，

因为点P是线段AB上的一个动点，所以0≤λ≤1，

√由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x0，y0.

√√如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系.设AM＝t，t∈[0，2]，

＝t2＋t＋4，在[0，2]上单调递增，故λ＝t2＋t＋4∈[4，10].结合选项选CD.

√因为点M是AC的中点，因为点D是AC边上的一点(包括端点)，

9根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，∴A(0，3)，B(4，0)，C(0，0)，

当且仅当2b＝c时，等号成立.

将|a＋b|＝2两边平方并化简得(|a|＋|b|)2－|a||b|＝4，

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

(1)求与a平行的单位向量c；

(2)设x＝a＋(t2＋3)b，y＝－k·ta＋b，若存在t∈[0，2]，使得x⊥y成立，求k的取值范围.∵x⊥y，∴x·y＝0，即－kt|a|2＋(t2＋3)|b|2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴t2－4kt＋3＝0.问题转化为关于t的二次方程t2－4kt＋3＝0在[0，2]内有解.令f(t)＝t2－4kt＋3，则当2k≤0，即k≤0时，∵f(0)＝3，

∴方程t2－4kt＋3＝0在[0，2]内无解；当02k≤2，即0k≤1时，由Δ＝16k2－12≥0，当2k2，即k1时，由f(2)≤0得4－8k＋3≤0，

√不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由平面向量三点共线可知，√

6整理得a2＋b2－2acosθ－2bsin