数学游戏与数学文化课件 -拓扑学拾趣.ppt

两人脱困游戏一如果不解开手腕上的绳结，不破坏，不剪断绳子的情况下，这一对男女能否分开呢？不动绳头栓死结一条没有打结的绳子，两只手分别抓紧两个绳头不能松开，怎么把绳子打一个如下图的死结呢？游戏二当中取圈?将6个一样的铁圈用绳子串着，绳子的两端如下图那样开着。你能把当中的两个铁圈取出来，却又不让两端的铁圈脱离绳子吗？游戏三硬币能穿过小孔吗？纸片上有一个两分硬币大小的孔，问伍分硬币能通过这个圆孔吗？当然，纸片是不允许撕破的。游戏四这个学科进一步发展，分成了两支，有一支更加关注图形在拉伸、压缩等连续变形下不变的性质，逐步发展成为拓扑学．拓扑学是几何学的一支，它是从图论演变过来的。

拓扑学研究的课题是极为有趣的。在拓扑学中，人们感兴趣的只是图形的位置关系，而不考虑长度和角度等性质．有人把拓扑学称为“橡皮几何学”，因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面积等都将发生变化．此时谈论“有多长”“有多大”之类的问题，是毫无意义的．

不过，橡皮膜上的图形也有一些性质保持不变．例如点变化后仍然是点；线变化后依旧为线；相交的图形绝不会因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交！

拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上保持不变性质的几何学．橡皮膜上的几何学——拓扑学橡皮的拉伸和弯曲（连续改变）在数学上称为拓扑变换．几何图形在拓扑变换下还能保持不变的性质叫图形的拓扑性质．如果图形X经过弯曲、伸缩，而没有撕裂也没粘合（即拓扑变换）变形为Y，则称两个图X与Y拓扑等价或同胚．互相同胚的图形被看作同一图形．比如，对于26个（大写）英文字母，一些拓扑学家就认为可将其分成3类：第一类：A,D,O,P,Q,R;第二类：C,E,F,G,H,l,J,K,L,M,N,S,T,U,V,W,X,Y,Z;第三类：B;第一类在连续变换下都可以变成O，第二类则都可变成I。“内部”与“外部”一条头尾相连且自身不相交的封闭曲线，把橡皮膜分成两个部分．如果我们把其中有限的部分称为闭曲线的“内部”，那么另一部分便是闭曲线的“外部”．从闭曲线的内部走到闭曲线的外部，不可能不通过该闭曲线．因此，无论你怎样拉扯橡皮膜，只要不切割、不撕裂、不折叠、不穿孔，那么闭曲线的内部总是内部，外部总是外部！“内部”与“外部”是拓扑学中很重要的一组概念。以下的故事，将增加你对“内部”与“外部”这两个概念的理解：

传说古波斯穆罕默德的继承人哈里发，有一位才貌双全的女儿。姑娘的智慧和美貌，使许多聪明英俊的小伙子为之倾倒，致使求婚者的车马络绎不绝。哈里发决定从中挑选一位才智超群的青年为婿。于是便出了一道题目，声明说：谁能解出这道题，便将女儿嫁给谁！哈里发的题目是这样的：请用线把下图中写有相同数字的小圆圈连接起来，但所连的线不许相交，也不许与图中的线相交。上述问题的解决，似乎不费吹灰之力。但实际上求婚者们全都乘兴而来，败兴而去！

据说后来哈里发终于醒悟，发现自己所提的问题是不可能实现的，因而后来又改换了题目。也有的说，哈里发固执已见，美丽的公主因此终生未嫁。事情究竟如何，现在自然无从查考。为什么说哈里发所提的问题不可能实现？为什么说哈里发所提的问题不可能实现？哈里发的失算，可以用拓扑学的知识加以证明的。其所需之概念，只有“内部”与“外部”两个。事实上，我们很容易用线把①一①，②一②连起来．读者可能已经发现：我们此时得到了一条简单的闭曲线，这条曲线把整个平面分为内部（阴影部分）和外部两个区域．其中一个③在内部区域，而另一个③却在外部区域．要想从闭曲线内部的③，画一条弧线与外部的③相连，而与已画的闭曲线不相交，这是不可能的！

如果我们把①一①、③一③连起来，得到同样的结果．拓扑学专家创造出了许许多多迷人的物体，如莫比乌斯带、克莱因瓶就是两种神奇的拓扑模型，是拓扑学中最有趣的单侧面问题的典型例子．拓扑学发展到现在，其概念和方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、广泛的应用．拓扑学与近世代数、近代分析已共同成为现代数学的三大支柱．趣味拓扑游戏