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*第五节对坐标的曲面积分有向曲面及曲面元素的投影?曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧*其方向用法向方向余弦0为前侧0为后侧封闭曲面0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧?设?为有向曲面,侧的规定指定了侧的曲面叫有向曲面,量指向表示:其面元在xoy面上的投影为记的面积为则规定当时当时当时*二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.**1.分割则该点流速为.单位法向量为.*3.求和*4.取极限*三、概念及性质*被积函数积分曲面类似可定义*存在条件:组合形式:物理意义:*性质:*四、计算法**注意(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.*根据对称性判别下述解法是否正确:例1.计算曲面积分,其中?为球面外侧在第一和第五卦限部分.解:把?分为上下两部分*例1.计算曲面积分外侧在第一和第五卦限部分.解:把?分为上下两部分,其中?为球面*其中是旋转抛物面取下侧。解：在xoy面投影域为取的方向为下侧，其中：把分成两部分：*取后侧。取前侧；**例3.计算积分其中?是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:由被积表达式及积分曲面的对称性知原式?的顶部取上侧?的底部取下侧*五.两类曲面积分的联系定义*
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