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专题21最值之阿氏圆问题

一、方法突破

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P

点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点

距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．

如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图

形为圆．

P

ABO

“阿氏圆”的一些性质：

PAMANA

（1）===k．

PBMBNB

应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O．

OBOP2

（2）△OBP∽△OPA，即=，变形为OP=OA×OB．

OPOA

应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置．

OPOBPA

（3）===k．

OAOPPB

应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA：PB的值．

P

ββα

αα+β

AMBON

二、典例精析

1．如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径做，

RtDABCÐC=90°AC=9BC=4CeC

1

分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为．

ACBCDEPeCPA+PB

3

xA(0,1)

2．如图，eO与轴、轴的正半轴分别相交于点M、点N，eO半径为3，点，

y

点B(2,0)，点在弧上移动，连接，，则的最小值为85．

PMNPAPB3PA+PB

3．如图，在DABC中，BC=6，ÐBAC=60°，则2AB+AC的最大值为．

PA

4．【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足=k(k为定值）的P点形成的

PB

图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”

【问题解决】如图，在中，，，则面积