预习篇 第14讲 简单几何体的表面积与体积 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）（解析版）.docx

第14讲简单几何体的表面积与体积

本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！

1棱柱

棱柱的表面积就是围成各个面的面积的和；体积：V=sh(其中

2棱锥

棱锥的表面积就是围成各个面的面积的和；棱锥体积：V=13Sh

3棱台

棱台的表面积就是围成各个面的面积的和；

棱台体积V=13(S

4圆柱

(1)侧面积：S

(2)全面积：S

(3)体积：V=Sh=πr2

5圆锥

(1)圆锥侧面积：S

(2)圆锥全面积：S=πr(r+l)

(3)圆锥体积：V=13Sh=1

6圆台

圆台表面积S

其中r是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度

圆台体积V圆台=13πh

7球体

面积S=4πR2，体积V=

【题型1】棱柱、棱锥、棱台的表面积

【知识点解读】

1棱柱的表面积就是围成各个面的面积的和；

2棱锥的表面积就是围成各个面的面积的和；

3棱台的表面积就是围成各个面的面积的和.

【典题1】正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为()

A．32 B．48 C．64 D．32

解析如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE

∵OE=2cm

∴斜高PE=

∴S

故选：A．

【巩固练习】

1.(★)棱长均为1的正四面体的表面积是()

A．3 B．23 C．33 D

答案A

解析∵正四面体的棱长均为1

∴正四面体每一个面均为边长等于1的等边三角形，

其面积S1

因此正四面体的表面积是S=4

故选：A．

2.(★★)“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示，其可近似看作正四棱台，上底面是边长为6dm的正方形，下底面是边长为2dm的正方形，高为4dm．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为(

A．85 B．16 C．25 D

答案A

解析由题意可知，四棱台的侧面均为等腰梯形，则其斜高为42

所以“斗”的所有侧面的面积之和为S1

下底面的面积为S2

所以S1

故选：A．

3.(★★)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=2,

答案10

解析如图，

正四棱柱ABCD-A1

则正四棱柱ABCD-A1

正四棱锥O-A1

∴正四棱锥O-A1

∴S

故答案为：106

4.(★★★)刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为4，底边宽为3，上棱长为2，高为2，则它的表面积是.

答案27+3

解析根据题意，如图：刍甍的底面为长方形ABCD，AB=4，BC=3，则其面积

侧面为两个三角形△ADE和△BFC，两个梯形ABFE和

△BFC中，斜高FN=1+4

同理：△ADE的面积S

梯形ABFE中，EF=2，AB=4，斜高EM=

同理：梯形CDEF的面积S5

则它的表面积S=12+

【题型2】棱柱、棱锥、棱台的体积

【知识点解读】

1棱柱

体积：V=sh(其中

2棱锥

棱锥体积：V=13Sh

3棱台

棱台体积V=13(S

解释

棱台的体积可以视为两个棱锥体积的差，简证如下

如下图，设S,S分别为上底四边形AB

由相似易得，POPO=

则PO=

所以V棱台

当S=0

【典题1】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是B

A．910 B．109 C．1011

解析由AB=3，BC

将平面ABB1A

连接AC1，与BB1的交点即为

设四棱锥A-BCC1M的体积为

三棱柱ABC-A1

∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V-

故选D

【典题2】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()

A.20+123B.282C.56

解析如图ABCD-A1B1C1D1为正四棱台，AB=2，A1B1=4，AA1=2．

在等腰梯形A1B1BA中，过A作AE⊥A1B1，可得A

【巩固练习】

1.(★)已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为()

A．2 B．4 C．6 D．12

答案B

解析如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=2

所以VP

故选：B．

2.(★)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是36，点E在棱

A．2 B．3 C．4 D．6

答案C

解析根据题意可得V

=2

故选：C．

3.(★★)（多选）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为1:2，则关于上下两几何体的说法正确的是()