预习篇 第18讲 空间中异面直线所成角、线面角和二面角 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）（原卷版）.docx

第18讲空间中异面直线所成角、线面角和二面角

本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！

1异面直线所成的角

①范围

θ∈(0

②作异面直线所成的角：平移法.

在空间任取一点O，过O作a//a,b//b，则a,

2线面所成的角

①定义

如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

一条直线垂直平面，则θ=90°

②范围

直线和平面所成的角θ的取值范围是0°

3二面角

(1)定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-

在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角

(2)范围二面角的平面角α的取值范围是[0

【题型1】异面直线所成角

【知识点解读】

1范围

θ∈(0

2作异面直线所成的角：平移法.

如图，在空间任取一点O，过O作a//a,b//b，则a,

【例】在正方体ABCD-ABCD

【典题1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为

A.π2B.π3C.

【巩固练习】

1.(★★)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC

A．55 B．5 C．306 D

2.(★★)如图，空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD

A.3B.4C.5D.6

3.(★★★)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，

A．1010 B．1040 C．12

4.(★★★)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，异面直线AD

【题型2】线面所成的角

【知识点解读】

1定义

如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

一条直线垂直平面，则θ=90°

2范围

直线和平面所成的角θ的取值范围是0°

【例】在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，求直线

【典题1】如图已知∠AOB=∠AOC=60°在平面内，OA是平面的斜线，且OA=OB=OC=1，

【典题2】如图，在三棱维P-ABC中，∠ACB

(1)平面PAC⊥平面PBC

(2)若AC=BC=PA=2

【巩固练习】

1.(★★)如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1

A．32 B．64 C．104

2.(★★)在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，且BC=3

A．π6 B．π4 C．π3

3.(★★)如图，空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC

A．33 B．13 C．63

4.(★★★)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段

A.22，63B.0

5.(★★★★)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点C在平面α上，若A1B和A

6.(★★★)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD

AB=2

(1)求证：AB⊥

(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．

【题型3】二面角

【知识点解读】

1定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条棱叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-

在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角

2范围

二面角的平面角α的取值范围是[0

【例】在正方体ABCD-ABC

【典题1】已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则二面角B﹣

A．2 B．12 C．33 D

【巩固练习】

1.(★★)正方体ABCD-A1B1C

A．63 B．32 C．12

2.(★★)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

3.(★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//

(1)证明：DM//平面PAB；(2)求二面角P

1.(★★)如图，四面体ABCD中，CD=4，AB=2，E，F分别是AC

A．30° B．45° C．60° D．90°

2.(★★)如图，圆柱OO1中，OO1=2，

A．2 B．2 C．22 D．

3.(★★