数学物理方法(第3版)课件：格林函数法求解数理方程.pptx

前面几章已经介绍了分离变量法、行波法和积分变换法。

这一章要讨论关于边值问题的格林函数法，它也是求解数理方程的一种有效方法。

首先，用高斯公式建立了格林公式；然后用格林函数的概念，讨论了如何用格林函数求解有界区域和无界区域的边值问题；介绍了电象法求格林函数和正交函数展开求解格林函数。;

§9.1格林公式及其在数理方程中的应用

§9.2格林函数与场位方程的解§9.3格林函数法解定解问题;

§9.1.1格林公式

§9.1.2泊松方程的积分表达式;

9.1.1格林公式

格林公式的概念可以从曲面积分中引出。

设业是足够光滑的曲面习所围成的有界区域，而P(x,y,z)，Q(x,y,z)和R(x,y,z)在业+习上连续，且在其内部有一阶连续的偏导数，这个曲面的面积公式是;

9.1.1格林公式

定理9.1格林第一公式

设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在Q+x上有一阶连续的偏

导数，在Q内有连续的二阶偏导数，则有

jj(juV2v)dV=jjudS一jjjVu.VvdV(9.1-2)

式中n为x的外法线方向。;

9.1.1格林公式

证令P=u，Q=u，R=u，则有

jjj++))|dV=jjj?xdV

=jjjvu.vvdV+jjjuv2vdV(9.1-3)

QQ;

根据式(9.1-1)，式(9.1-3)和(9.1-4)是相等的，

整理后可得到;

9.1.1格林公式

定理9.2格林第二公式

对满足定理9.1的函数u(x,y,z)和v(x,y,z)，有

jj(juv2v一vv2u)dV=jju一v))|dS(9.1-5)

证jj(juv2v)dV=jjudS一jjjvu.vvdV(9.1-2)

交换式(9.1-2)的u和v的位置，可以得到

jj(jvv2u)dV=jjvdS一jjjvv.vudV(9.1-6)

式(9.1-2)和(9.1-6)相减后就得到(9.1-5)式。[证毕];

9.1.2泊松方程的积分表达式

下面把泊松方程的解用积分公式表达出来。设有泊松方程的定解问题;;

9.1.2泊松方程的积分表达式

在Q-Qc区域内，设u在边界面上有一阶连续的偏导数，在Q内有二阶连续的偏导数，根据格林第二公式(9.1－5)可以得到

jjjuv2-v2u))|dV=ju-))|dS(9.1-10)

把(9.1-7)的v2u=-F(r)和v2=0代入上式，式(9.1-10)

??左边是;

9.1.2泊松方程的积分表达式

现求方程(9.1-10)的右边值。设球体业的半径是G，在球面xG上有

?(1r)?(1r)11

=-==

因此得到

jjudS=jjudS=u4TG2=4Tu(9.1-12)

式中u为u在球面xG上的平均值。式(9.1-10)的右边第二个积分在xG为;

=jju))|-dS+4u-4c

式(9.1-14)和(9.1-11)是相等的，因此得到

4u-c

=-jju))|-dS+jjjdV;

对式(9.1-15)两边取极限，注意到limu=u(x0,y0,z0)；

而且u(x,y,z)是一阶连续可导，因此有界，G=0；另有QG=0，(Q-QG)=Q。式(9.1-15)可简化为

u(x0,y0,z0)=jjjdV-jju))|-dS(9.1-16)

式(