专题04 点到直线的距离（解析版）.docx

专题04点到直线的距离

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一．两点间的距离

1.两点间的距离公式

平面上任意两点间的距离公式为.

特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离．

2．两点间距离公式的推导

法一：已知平面上的任意两点，向量，则.

因此得到平面上的任意两点的距离公式为：.

法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离?

如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为，，直线与相交于点Q．

在中，，过点向x轴作垂线，垂足为；过点向轴作垂线，垂足为，所以，同理可得．

所以．

由此得到平面上任意两点间的距离公式为．

二．对称问题

对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称．

1．点关于点对称

点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题．

设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为．

2．点关于直线对称

对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系：

①（直线l的斜率存在且不为零）；

②线段的中点在直线l上；

③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即．

常见的点关于直线的对称点：

点关于x轴的对称点；

点关于y轴的对称点；

点关于直线y=x的对称点；

点关于直线y=?x的对称点；

点关于直线x=m（m≠0）的对称点；

点关于直线y=n（n≠0）的对称点．

三．点到直线的距离

1．点到直线的距离

点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值．

2．点到直线的距离公式

平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为．

3．点到直线的距离公式的推导

如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为，R的坐标为；直线的方程为，S的坐标为，

于是有，，

．

设，由三角形面积公式可得，

于是得．

因此，点到直线l：Ax+By+C=0的距离．

可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立．

【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有，所以有.

四．点到直线的距离问题

（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．

（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或．

（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．

一．两点间的距离（共3小题）

1.若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（）

A．3B．C．5D．

【答案】D

【分析】先根据过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行求得a与b的关系，再利用两点间的距离公式求解.

【详解】由题意得＝2，即b－a＝2.

所以|AB|＝.

2.设x，，，，且，则点到点的最短距离是（）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【分析】根据得出x，y的关系，代入两点间的距离公式，配方得出答案.

【详解】，，即，.

点到点的距离为.

3.在平面直角坐标平面内有四点，，，，为该平面内的动点，则到、、、四点的距离之和的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据和可知当为两条对角线的交点时，到、、、四点的距离之和取得最小值，经计算可得结果.

【详解】依题意，四点，，，构成一个四边形，

因为，当且仅当在对角线上时取得等号，

因为，当且仅当在对角线上时取得等号，

所以，

当且仅当为两条对角线的交点时取得等号.

故到、、、四点的距离之和的最小值为

二．对称问题（共3小题）

1.已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出A关于直线的对称点，根据两点之间直线最短进行求解即可.

【详解】设A关于直线的对称点的坐标为，

则，

∴最小．

2.已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两点之间线段最短，先求点关于直线对称的点，可得

，当A、P、三点共线时,得答案.

【详解】点B关于直线对称的点为．