2025高考数学考二轮专题复习-第十九讲-导数综合（五大考向)-专项训练【含答案】.docx

2025高考数学考二轮专题复习-第十九讲-导数综合（五大考向)-专项训练

一：考情分析

命题解读

考向

考查统计

1.高考中，导数是必考内容。难度、广度和深度较大。常规基础考查求导公式与几何意义；中等难度考查求单调区间、极值、最值等；压轴题考查零点、不等式证明、恒成立或者存在问题、分类讨论求参数等，和数列、不等式、函数等知识结合。

导数与函数最值

2022·新高考Ⅰ卷，22（1）

2024·新高考Ⅰ卷，18（1）

2024·新高考Ⅰ卷，18（3）

2022·新高考Ⅱ卷，22（2）

导数与函数零点

2022·新高考Ⅰ卷，22（2）

导数与函数单调性

2023·新高考Ⅰ卷，19（1）

2022·新高考Ⅱ卷，22（1）

导数与不等式证明

2023·新高考Ⅰ卷，19（2）

2022·新高考Ⅱ卷，22（3）

2023·新高考Ⅱ卷，22（1）

导数与函数极值

2023·新高考Ⅱ卷，22（2）

2024·新高考Ⅱ卷，16（2）

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考Ⅰ卷考查了导数中函数最值、函数的对称性、恒成立问题的综合运用，难度较难。Ⅱ卷考查了曲线的切线和函数的极值求参数，常规考查，难度适中。导数的高频考点有：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调性、极值或最值；求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性结合考查等。导数中频考点有：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求不等式的解；求参数的取值范围等。预计2025年高考还是主要考查导数与切线及恒成立、求参问题。

三：试题精讲

一、解答题

1．（2024新高考Ⅰ卷·18）已知函数

(1)若，且，求的最小值；

(2)证明：曲线是中心对称图形；

(3)若当且仅当，求的取值范围．

2．（2024新高考Ⅱ卷·16）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

高考真题练

一、解答题

1．（2022新高考Ⅰ卷·22）已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

2．（2023新高考Ⅰ卷·19）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

3．（2022新高考Ⅱ卷·22）已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

4．（2023新高考Ⅱ卷·22）（1）证明：当时，；

（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

知识点总结

一、恒成立和有解问题思路一览

设函数的值域为或，或或中之一种，则

①若恒成立（即无解），则；

②若恒成立（即无解），则；

③若有解（即存在使得成立），则；

④若有解（即存在使得成立），则；

⑤若有解（即无解），则；

⑥若无解（即有解），则．

【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．

（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）

二、分离参数的方法

①常规法分离参数：如；

②倒数法分离参数：如；

【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】

③讨论法分离参数：如:

④整体法分离参数：如；

⑤不完全分离参数法：如；

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．

【注意】

（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．

（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】

三、其他恒成立类型一

①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．

③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)

四、其他恒成立类型二

①，使得方程成立．

②，使得方程成．

五、其他恒成立类型三

①，；

②，；

③，；

④，．

六、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

七、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形

模型1.对于，构造

模型2.对于不等式，构造函数.

模型3.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型4.对于不等式，构造函数

模型5.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造