6.4.1平面几何中的向量方法-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）.pptx

6.4.1平面几何中的向量方法第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用

课标要求1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.体会向量在解决数学问题中的作用.

向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具.引入

课时精练一、用向量解决平面几何中的平行问题二、用向量解决平面几何中的垂直问题三、用向量求线段的长度课堂达标内容索引四、用向量求几何中的角度问题

用向量解决平面几何中的平行问题一

例1(链接教材P38例1)在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；如图，以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0).

∵B，C，D三点不共线，∴DE∥BC.

(2)D，M，B三点共线.连接MB，MD.∵MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线.

思维升华

如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF.训练1∵点G不在直线EF上，∴HG∥EF.

用向量解决平面几何中的垂直问题二

例2如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.

法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝2－2＝0，

思维升华利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.

如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.训练2则a＝e＋c，b＝e＋d，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，由条件知a2＝c2－d2＋b2，所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，所以AD⊥BC.

用向量求线段的长度三

例3(链接教材P61T13(2))在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.＝1＋4＋2a·b＝6，

思维升华

训练3在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是√

用向量求几何中的角度问题四

例4(1)AD的长；

(2)∠DAC的大小.设∠DAC＝θ(0°θ120°)，∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.

思维升华用向量法求角度的策略(1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可.(2)要注意，两向量的夹角和要求角的关系.

训练4正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝________.以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.

【课堂达标】

A.是正三角形 B.是直角三角形C.是等腰三角形 D.形状无法确定√则△ABC是等腰三角形.

√2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为A.梯形 B.菱形C.矩形 D.正方形

3.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于√如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，

1∶3如图，设D为BC边的中点，

【课时精练】

√A.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形所以四边形ABCD是等腰梯形.

√∴四边形ABCD的面积

√∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.

√A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心∴OB⊥AC.同理可得OA⊥BC，OC⊥AB，∴点O为△ABC的垂心.

√A.sinθ0，cosθ0 B.sinθ0，cosθ0C.sinθ0，cosθ0 D.sinθ0，cosθ0所以cosθ0.所以sinθ0，cosθ0.

矩形即AB⊥BC，所以四边形ABCD为矩形.

9.如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形.如图所示，连接AC,因为E，F分别是AB，BC的中点，又因为EF，HG不在一条直线上，所以四边形EFGH是平行四边形.

10.已知正方形A