6.4.3第二课时　正弦定理-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）.pptx

第二课时正弦定理第六章6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理

课标要求1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数.

在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现之前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这三个量，求出AB的长吗？引入

课时精练一、正弦定理及其推导二、已知两角及任意边解三角形三、已知两边及其中一边的对角解三角形课堂达标内容索引四、三角形解的个数的判断

正弦定理及其推导一

如图，△ABC为钝角三角形，不妨设A为钝角，

提示观察右图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，

1.正弦定理的表示 (1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.知识梳理正弦

2.正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝____________；2RsinC(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(5)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.

温馨提示(1)在正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学中的对称美.(2)正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.

已知两角及任意边解三角形二

例1(链接教材P47例7)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.

思维升华

训练1√

已知两边及其中一边的对角解三角形三

例2∵0°C180°，∴C＝60°或C＝120°.

若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？迁移

思维升华已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角.(2)用三角形内角和定理求出第三个角.(3)根据正弦定理求出第三条边.其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值.

训练2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝√由a＝1510＝b得，BA＝60°，

三角形解的个数的判断四

例3不解三角形，判断下列三角形解的个数.(1)a＝5，b＝4，A＝120°；所以三角形有一解.

(2)a＝9，b＝10，A＝60°；故三角形有两解.

(3)b＝72，c＝50，C＝135°.故三角形无解.

思维升华已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画孤，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：?A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a＝b无解无解一解ab无解无解absinA两解a＝bsinA一解absinA无解

训练3(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解√√√

又ba，∴角B只有一解.

【课堂达标】

1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的是A.a∶b＝A∶BB.a∶b＝sinA∶sinBC.a∶b＝sinB∶sinAD.asinA＝bsinB√

√2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝4，b＝4，B＝45°，则A＝A.60° B.120°C.60°或120° D.以上答案都不对∵ab，∴AB，∴A＝60°或120°.

A.有一解 B.有两解C.无解 D.解的个数不确定√

【课时精练】

√1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列关系式中一定成立的是A.absinA B.a＝bsinAC.absinA D.a≥bsinA

√

√A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°又B为三角形内角，所以B＝30°或B＝150°，又因为ab，所以AB，即B＝30°.